Multiplicidad de la característica de Euler para fibraciones no orientables

Question

Sea $E\to B$ una fibración con fibra F, y asumamos para simplificar que B está conectado. Supongamos además que tanto B como F tienen características de Euler (quizás sean variedades). Entonces a menudo, se puede concluir que E también tiene una característica de Euler, y que

$$ \chi(E) = \chi(B)\cdot \chi(F). $$

La única prueba que he podido encontrar utiliza un argumento de secuencia espectral y requiere que $\pi_1(B)$ actúe trivialmente en la homología de F, de manera que la homología en la secuencia espectral pueda ser tomada con coeficientes constantes. A esta condición a veces se le llama orientabilidad de la fibración (con respecto a la teoría homológica, normalmente homología racional).

¿Se conoce si el resultado es verdadero de forma más general que esto? ¿Existe alguna otra prueba conocida? ¿Existen ejemplos donde se sepa que es falso?

Answer 1

Supongamos por simplicidad que $B, F$ son complejos CW finitos y que $p: E \to B$ es la proyección del haz.

Supongamos que $B$ se obtiene a partir de un complejo CW $B'$ adjuntando una $n$-celda. Supongamos que $\chi(B') \chi(F) = \chi(E')$ con $E' = p^{-1}(B')$. Entonces $H^*(E, E') \cong \tilde H(E/E') \cong H^*(D^n \times F, S^{n-1} \times F)$ [act: algunos detalles adicionales: $E/E'$ es la compactificación de un punto de $p^{-1}(B \setminus B')$; ahora $B \setminus B'$ es un $n$-disco y así $p^{-1}(B \setminus B') \cong (D^n \setminus S^{n-1}) \times F$, por lo que la compactación de un punto de $p^{-1}(B \setminus B')$ es $(D^n \times F)/(S^{n-1} \times F)$. Ahora usando excisión y homotopía vemos que $\tilde H^*(E/E') \cong H^*(D^n \times F, S^{n-1} \times F)].

Entonces $\chi(E,E') = (-1)^n \chi(F)$. Así que por inducción en el número de celdas obtenemos $\chi(E) = \chi(B) \chi(F)$. No se necesitan suposiciones sobre la acción de $\pi_1(B)$.

Answer 2

Dado que esta pregunta parece estar atrayendo un interés renovado, también debo señalar que unos años después de hacerla, Kate Ponto y yo demostramos una generalización de esta fórmula mediante métodos puramente homotópicos/categóricos, la cual se aplica a cualquier fibra y ofrece un resultado sobre el número de Lefschetz e incluso la traza de Reidemeister. El documento está aquí.

Answer 3

Sea $B$ un complejo simplicial finito. Consideremos su descomposición celular dual. La preimagen de cada celda tiene una característica de Euler igual a la de $F$. Ahora usemos la fórmula combinatoria usual para la característica de Euler de la unión de finitos conjuntos, $\chi(A_1 \cup \dots \cup A_k)$, tomando para $A_i$, la preimagen de la celda dual del $i$-ésimo vértice de $B$. Obtenemos la igualdad requerida.