¿Cuál es el número mínimo de generadores para $PSL(2,\, \mathbb{F}_q)$? ¿Se conoce? ¿Hay alguna referencia que pueda ver?
Respuesta
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El grupo se genera con dos elementos. Esto fue demostrado por L.E. Dickson, y se puede encontrar en el libro de D. Gorenstein sobre Grupos Finitos. Estrictamente, esa prueba no cubre los casos $q < 4$ y $q = 9.$ El caso $q=2,3,4$ se puede verificar directamente. Dado que ${\rm PSL}(2,9) \cong A_{6},$ esto también se puede verificar directamente.
Añadido más tarde: Tal vez Dickson requería que la potencia prima $q$ fuera impar, no puedo recordar. Pero en cualquier caso, cuando $q$ es una potencia de $2$ y $q >2,$ entonces $G = {\rm PSL}(2,q)$ se puede generar con dos elementos, uno de orden $q-1$ y otro de orden $q+1.$ El primero, llamémoslo $C$, se puede tomar para normalizar un $2$-subgrupo de Sylow elegido, y permutar sus elementos no identidad transitivamente por conjugación, y el segundo, llamémoslo $D$, permuta los $2$-subgrupos de Sylow transitivamente por conjugación. Ahora $\langle C,D \rangle$ debe tener orden impar, de lo contrario, contendría un $2$-subgrupo de Sylow completo, y por lo tanto tendría orden divisible por $q(q-1)(q+1) = |{\rm PSL}(2,q)|$ en este caso. Por lo tanto $CD = DC$ es un grupo de orden $(q+1)(q-1).$ Sin embargo, todos los subgrupos de orden impar de ${\rm PSL}(2,q)$ son abelianos cuando $q$ es una potencia de $2$. Hay varias formas de terminar, por ejemplo, N. Ito demostró que el producto de grupos finitos abelianos es metabeliano y tenemos $G = S(CD)$ para $S \in {\rm Syl}_{2}(G)$ (también $S$ es abeliano), y ${\rm PSL}(2,q)$ no es metabeliano para $q = 2^{n}$ cuando $n >1$-alternativamente, uno puede ver simplemente que $G$ no contiene ningún elemento de orden $(q-1)(q+1),$ y $CD$ tendría que ser cíclico.
(La generación $2$ de ${\rm PSL}(2,q)$ para $q >3$ también se sigue de un teorema de R. Steinberg).
