Un ejemplo de una sucesión divergente $\{x_n\}$ pero con $\lim_{n\to\infty} |x_{n+p} - x_n| = 0$ para cualquier $p \in \Bbb N$

Question

Encuentra un ejemplo de una secuencia divergente $\{x_n\}$ tal que $\forall p \in \Bbb N$: $$ \lim_{n\to\infty} |x_{n+p} - x_n| = 0 $$

La forma en que se plantea el problema sugiere que la secuencia existe, sin embargo no pude encontrar tal secuencia. Además parece imposible ya que a partir de la definición de límite anterior: $$ \lim_{n\to\infty} |x_{n+p} - x_n| = 0 \stackrel{\text{def}}{\iff} \forall \epsilon>0\ \exists N\in\Bbb N: \forall n > N \implies |x_{n+p} - x_n| < \epsilon $$

Lo cual no es más que el hecho de que $x_n$ es fundamental y, por lo tanto, convergente por el Criterio de Cauchy.

Además, intuitivamente $|x_{n+p} - x_n| = 0$ implica que la secuencia eventualmente se convierte en una constante que debe ser convergente.

¿Podría alguien proporcionar un ejemplo de tal secuencia en caso de que efectivamente exista? Puede haber algunas secuencias esotéricas de las que no estoy al tanto.

Answer 1

Un ejemplo que es en realidad equivalente a los otros ejemplos dados: $x_n=\log(n)$.

La razón por la cual la condición dada no implica que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy es que $p$ está fijo. Es decir, el orden de los cuantificadores es diferente; la condición dada es $$\forall p>0\forall \epsilon>0\exists N\forall n>N(|x_{n+p}-x_n|<\epsilon),$$mientras que decir que $(x_n)$ es de Cauchy es una condición más fuerte $$\forall \epsilon>0\exists N\forall p>0\forall n>N(|x_{n+p}-x_n|<\epsilon).$$

Por cierto, "Además intuitivamente $|x_{n+p}−x_n|=0$ implica que las sucesiones eventualmente se convierten en una constante que debe ser convergente" es falso; considera por ejemplo $x_n=(-1)^n$, $p=2$.

Answer 2

La serie armónica funciona. Tenemos que $$|x_{n+p} - x_n| = \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{1}{k} \leq \frac{p}{n+1} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$$

Answer 3

Sea $x_n = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{i}$. Entonces $|x_{n+p} - x_n| = \sum_{i = n+1}^{n+p} \frac{1}{i} \leq \frac{p}{n} \rightarrow 0$ conforme $n \rightarrow \infty$ para cualquier $p$.

Answer 4

Dos ejemplos más: $x_n=\log n$ (más o menos lo mismo que en las respuestas anteriores), $x_n=\sqrt{n}$.