Comprendiendo los diagramas de cuerda de Marsden para la naturalidad

Question

Estoy tratando de aprender sobre diagramas de cuerdas desde el tutorial de Dan Marsden, y primero me confundo en la página 9, cuando introduce los siguientes dos diagramas y afirma que expresan la condición de naturalidad de una transformación natural $\{\alpha_X:F(X)\to G(X)\;|\;X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)\}$.

Lo entiendo de la siguiente manera. La región amarilla (izquierda) representa la categoría de un objeto $\bf1$, así que $X$ y $Y$, que son objetos en $\mathcal C$, pueden ser representados como funtores de $\bf 1$ a $\mathcal C$, y de la misma manera $f:X\to Y$ como una transformación natural de $X$ a $Y$ (como funtores).

Lo que no entiendo es, ¿Por qué aparecen $\alpha_X$ y $\alpha_Y$ en el cable que une $X$ y $Y$? ¿Es esta una nueva notación que se está introduciendo (pero no se explica), o se sigue de la discusión previa en el documento? También, ¿qué "cosa" representa el cable que une $\alpha_•$ y $f$ en cada diagrama? Supongo que las respuestas son $X$ y $Y$ respectivamente, pero de nuevo la presencia de las $\alpha$'s no parece tener sentido.

En este punto del documento, no parece haber una explicación de lo que significa tener cuatro cables conectados a un vértice, así que tal vez eso es lo que me falta. Pero me parece que los diagramas serían más correctos si enderezáramos los cables de $F$ a $G$, moviendo las $\alpha$'s hacia la derecha. Esencialmente, busco una explicación precisa de la anatomía de estos diagramas.

Answer 1

Tampoco soy un experto, así que tómalo con cautela.

Veamos primero algo más simple, a saber, la siguiente imagen (de la página 13):

Esto simplemente representa la función $f : X \to G(Y)$. Una forma de pensar en esto es dividir la imagen horizontalmente en la parte superior de $f$, la parte inferior de $f$, y $f$ en sí.

• La parte arriba de $f$ (es decir, la región amarilla, la región verde y la región azul separadas por los cables verticales $Y$ y $G$) es simplemente la composición del objeto $Y$ de $\mathcal D$, pensado como un funtor $Y : \mathbf 1 \to \mathcal D$, y $G : \mathcal D \to \mathcal C$. Este es un funtor $\mathbf 1 \to \mathcal C$, es decir, el objeto $G(Y)$ de $\mathcal C$.
• La parte debajo de $f$ (es decir, la región amarilla y la región azul separadas por el cable vertical $X$) es aún más simple, es el objeto $X$ (de nuevo, pensado como un funtor $\mathbf 1 \to \mathcal C$).
• Ahora $f$ (representado por el punto) es una transformación natural del funtor inferior al funtor superior. Como ambos son simplemente objetos, esto es lo mismo que una función.

En general, cuando varios cables se encuentran en un punto, esto significa que la transformación natural representada por el punto es desde la composición de los funtores representados por los cables que entran desde abajo hasta la composición de los funtores representados por los cables que entran desde arriba.

En tu imagen, en la mitad inferior del diagrama de la izquierda tenemos la función $\alpha_X : F(X) \to G(X)$. En la mitad superior, tenemos $f$ pero hay un $G$ a la derecha de él, por lo que tenemos que formar la composición horizontal. Esto es simplemente $G(f) : G(X) \to G(Y)$. Luego formamos la composición de estos dos, es decir, $G(f) \circ \alpha_X$ (que de hecho es un lado de la ecuación "usual" para transformaciones naturales). De manera similar, el otro lado es $\alpha_Y \circ F(f)$.

En cuanto a tu pregunta sobre el cable entre $\alpha_X$ y $f$: De hecho, es simplemente $X$ pero recuerda que este cable no es el codominio de $\alpha_X$. El codominio de $\alpha_X$ es la composición (horizontal) de todas las cosas que entran desde arriba que son $X$ y $G$; así que el codominio es de hecho $G(X)$, como se esperaba.