Considera a un hombre que viajó exactamente 2 km en dos horas. ¿Existe un intervalo de una hora en el que viajó exactamente 1 km?

Question

Pregunta :

Considera a un hombre que viajó exactamente 2 km en dos horas.
¿Existe un intervalo de una hora en el que viajó exactamente 1 km?

¿Podemos hacer un argumento matemático?

He escrito mi intento en una respuesta abajo. ¿Alguien más tiene un enfoque mejor?
¿Son necesarias mis suposiciones, o podemos producir contraejemplos sin ellas? ¿Podemos arreglárnoslas con algunas suposiciones intermedias?

(Esto no es lo mismo que la pregunta de Universal Chord porque no hay un $f$ con $f(0)=f(1)$ y no hay una suposición de continuidad. Las respuestas a la pregunta del ciclista no son satisfactorias.)

Answer 1

Sea $d(t)$ la distancia recorrida en el tiempo $t$ (en horas). Tenemos que $d(0) = 0$ y $d(2) = 2$. Es seguro asumir que $d$ es continua. Queremos encontrar un $t\in[0;1]$ tal que $$d(t+1) - d(t) = 1.$$ Definimos una función auxiliar $$f(t) = d(t+1) - d(t) - 1.$$ Por lo tanto, nuestra condición se convierte en $f(t) = 0$.

Se tiene que $$\begin{align*} f(0) &= d(1) - d(0) - 1 = d(1) - 1 \\ f(1) &= d(2) - d(1) - 1 = 1 - d(1) = -f(0) \end{align*}$$ Entonces:

Si $f(0) = f(1) = 0$, entonces hemos terminado.

Si $f(0) \neq 0$, tenemos que $f(0)$ y $f(1)$ tienen signos diferentes. Por el teorema del valor intermedio, existe un $t\in (0;1)$ tal que $f(t) = 0$, como se deseaba.

Answer 2

Definimos $d$ sin ninguna suposición de velocidad: Sea $p(t)$ la posición del hombre - y definimos $d(t)=p(t+1)-p(t)$. Como la teletransportación no está permitida, $p$ es continua, por lo tanto también lo es $d$.

Queremos saber si siempre hay un $t$ donde $d(t)$ tome el valor de 1 km. Sabemos que $d(0)+d(1)=2$.

Supongamos sin pérdida de generalidad que $m = d(0) \leq d(1) = n $. Entonces, o bien $m=n=1$, en cuyo caso ya hemos terminado, o tenemos $m<1, en cuyo caso podemos usar la continuidad de $d(t)$ para invocar el Teorema del Valor Intermedio y afirmar que hubo algún $t$ intermedio donde el valor fue $1$.

Answer 3

Con la suposición de continuidad, se define una función en el intervalo $t \in [1,2]$ por $d_1 (t) \equiv d(t) - d(t-1)$, la distancia recorrida en la última hora, donde $d(t)$ es la posición en el tiempo $t$. Entonces $d_1 (1) = d(1) - d(0) = d(1)$, y $d_1 (2) = d(2) - d(1) = 2 - d(1)$. La media de los dos valores límite $d(1)$ y $2 - d(1)$ de la función $d_1 (t)$ es $1$, por lo tanto $1 \in [d_1 (1), d_1 (2) ] $ sin importar cuál sea $d(1)$, y por el teorema del valor intermedio existe un $t_0 \in [1,2]$ tal que $d_1(t_0 ) = 1$.

Answer 4

Aquí hay una Solución Muy Simple :

RESUMEN :

Cuando la Ventana Inicial + la última ventana = 2km, ya sea que ambas ventanas sean de 1km o una sea menor y la otra mayor, en cuyo caso, debe haber alguna Ventana Intermedia donde la Distancia de ventana continua $D(t)$ cambia, convirtiéndose en igual a 1km.

DETALLES :

Tomemos una ventana deslizante de 1 hora de duración : $(t,t+1)$
Esa ventana comienza en $t=0$ ( ventana es $(0,1)$ ) & termina en $t=1$ ( ventana es $(1,2)$ )

Permítanos que la ventana inicial tenga una Distancia $D(t)$ menor a 1km.
Cuando la ventana avanza por un pequeño $h$ entonces la nueva Distancia ( dentro de esa Ventana ) variará a $D(t+h)$
Debido a la continuidad, la Distancia puede llegar a ser exactamente 1km (& estamos LISTOS) o seguir siendo menor a 1km.

Eventualmente, alcanzaremos la última ventana $(1,2)$.
Cuando esa ventana aún tiene menos de 1km , entonces vemos que la Distancia total recorrida es menor a 2 km (Ventana Inicial + última ventana)
Por lo tanto, esa última ventana debe tener 1km o más. De lo contrario, hay una Contradicción.
Por lo tanto, debemos tener alguna Ventana Intermedia donde "$<1km$" cambie a "$>1km$" , o más bien esa Ventana Intermedia debe tener "$=1km$".
LISTO

Tenemos un argumento similar cuando la Ventana Inicial es más de 1km , donde alguna Ventana Deslizante debe tener 1km. Cuando todas las Ventanas Intermedias siguen siendo más de 1km , entonces la última ventana debe tener 1km. Cuando la última ventana todavía tiene más de 1 km , la Distancia total es mayor a 2km lo cual es una Contradicción.
Hemos terminado con todos los casos.