La analítica de la función $f$ $\overline{\mathbb{D}}$ satisfacción $\left\lvert\,f'(\tfrac{1}{2})\,\right \rvert\leq 8.$

Question

Deje $f$ ser una analítica de la función de la cerrada de la unidad de disco $\overline{\mathbb{D}}$. En su límite de $\partial \mathbb{D}$ sostiene que $\vert\,f(z) -z\rvert < \lvert z\rvert$.

Ahora tengo que demostrar que $$ \left\lvert\,\ f'\left(\frac{1}{2}\right)\right\rvert \leq 8. $$

Ya he averiguado, que no puede ser $\,z_0 \in \partial \mathbb{D}$, de tal manera que $\,f(z_0) =0\,$ ya que significaría que $\lvert 0-z_0\rvert < \lvert z_0\rvert\,$ que produce una contradicción, ya que la desigualdad es estricta.

También sé, que $f$ se lleva a su máximo en $\partial \mathbb{D}$ según el máximo módulo de principio.

Mi suposición es que debo conseguir $\,\lvert\,f'(z)\rvert < \lvert z^{-3}\rvert\,$ mirando los números, que parece un poco al azar para mí.

Pero ahora estoy atascado. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

De Cauchy de la Integral Fórmula que proporciona $$ f'\Big(\frac{1}{2}\Big)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=1}\!\frac{f(z)\,dz}{\big(z-\frac{1}{2}\!\big)^2}, $$ y por lo tanto \begin{align} \left\lvert\, f'\Big(\frac{1}{2}\Big)\right|&\le \frac{\max_{|z|=1}\lvert\,f(z)|}{(1/2)^2}=4\max_{|z|=1}\lvert \,f(z)|\le 4\max_{|z|=1}\big(\lvert\, f(z)-z|+|z|\big) \\&\le 4\max_{|z|=1}\big(|z|+|z|\big)=8. \end{align}