¿Por qué podemos traducir vectores libremente en el espacio?

Question

Esta pregunta ha estado molestándome durante un tiempo. Asumamos la siguiente configuración:

1. Considera un mundo bidimensional.
2. Tengo una pelota a mis pies. Supongamos que la pelota está en O(0, 0).
3. Mi amigo y yo pateamos la pelota al mismo tiempo. Yo ejerzo una fuerza V1 y mi amigo ejerce V2.
4. La pelota debería viajar a lo largo del resultado de V1 y V2, digamos R.
5. Supongamos que traduzco V1 a lo largo de un eje perpendicular a él, a V1', por decirlo así.
6. Ahora, si V1' y V2 actúan solos sobre la pelota al mismo tiempo, se moverá solo a lo largo de V2, ya que V1' actúa en un punto diferente en el espacio después de traducirlo.

¿No significa esto que traducir un vector lo cambia? Claramente V1 y V1' dan lugar a resultados diferentes. ¿No debería representarse un vector por dónde está su cola en un marco de referencia?

Me he encontrado con la siguiente afirmación con bastante frecuencia: "En Física, los vectores pueden trasladarse libremente en el espacio sin cambiar". ¿Cuál es el significado de esta afirmación? Tal vez estoy confundido por lo que realmente significa un vector en sí mismo. ¿Dónde está el error en mi comprensión anterior? ¿Las fuerzas se representan por vectores, ¿verdad? ¿Pertenecen a una subclase de una clase de vector más general? Cualquier ayuda será apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Su confusión se debe al hecho de que nunca se le enseñó la distinción entre un espacio vectorial y un espacio afín.

La diferencia entre un espacio vectorial de 1 dimensión y una recta, es que en una recta, todos los puntos son equivalentes. No hay un "punto distinguido". Cuando eliges un origen en una recta, una decisión completamente arbitraria, haces que tu recta corresponda a un espacio vectorial de 1 dimensión. Si luego eliges una base para él, cada vector no es más que un múltiplo escalar de ese único elemento de la base. Así es como obtienes una línea numérica.

De manera similar, la diferencia entre un espacio vectorial de dos dimensiones y un plano es que en un plano, todos los puntos son equivalentes, una vez más, no hay un "punto distinguido". Cuando eliges un origen en un plano, una decisión completamente arbitraria, haces que tu plano corresponda a un espacio vectorial de 2 dimensiones. Si eliges una base, esta tiene 2 elementos, y así ese espacio vectorial de dos dimensiones se convierte en un producto cartesiano de 2 escalares, que es como obtienes el conocido plano gráfico.

¿Cuál es esta correspondencia? Los axiomas de la geometría incluyen que las translatciones actúan de manera simplemente transitiva, lo que significa que daddos dos puntos, existe una única traslación que lleva uno al otro. Entonces, cuando dibujas un vector de p a q, estás describiendo la translación que lleva a p a q. Cuando eliges un origen, cada punto se asocia con la translación que lleva al origen a ese punto.

Así que en una imagen te estás enfocando en el espacio afín, en la otra imagen te estás enfocando en el espacio vectorial.

Toda geometría que satisface el axioma de Desargües tiene un grupo de traslaciones que forman un espacio vectorial sobre un cuerpo de división, y cada espacio vectorial sobre un cuerpo de división da origen a tal geometría. La imagen geométrica (afín) y la imagen algebraica (espacio vectorial) son completamente equivalentes.