Sea $u: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb {R}$ una función de valores reales, de modo que $f(z)=\cos \left( u(z) \right) +i \cdot \sin \left( u(z) \right)$ sea holomorfa en $\mathbb{C}$. Muestra que $u$ es constante.
He intentado usar las ecuaciones de Cauchy-Reimann y la regla de la cadena, pero no estoy seguro de poder decir que $u$ tiene una derivada. Para ser más formal, traté a $u$ como una función vectorial real con un valor constante en la segunda coordenada $u \left( \matrix {x\\y} \right) = \left( \matrix {u_1(x,y)\\0} \right)$ y luego $f(u) = f(u_1)$. Es obvio que si $u$ es diferenciable (en el sentido complejo) entonces es constante. Pero no pude demostrarlo.
También usando la fórmula de Euler para el exponente complejo $f(z) = e^{i \cdot u(z)}$ y sumando su conjugado para obtener una función armónica de valores reales $h(z) = f(z) + \overline{f(z)} = 2 \cdot\cos(u(z))$, ya que $h$ es tanto de valores reales como holomórfica - es constante, por lo tanto $u$ es constante.
Pero:
- No estoy seguro de por qué $u$ no puede ser algo como $u(x,y) = 2 \pi \lceil x\rceil$ ?
- ¿Cuáles son las condiciones generales para que tanto $f$ como $\overline{f}$ sean holomórficas?
De todos modos estoy bastante seguro de que estoy en el camino correcto, así que nuevas ideas serán bienvenidas con gusto.
EDIT
Mi instructor aprobó que $u$ tiene que ser continua, por lo que ahora el problema se resuelve bastante fácilmente. ¡Gracias por toda tu ayuda!
