Posible Error en el Análisis Elemental por Ross

Question

Tengo serios problemas para entender el ejemplo 5 del capítulo 8 de Análisis Elemental por Ross. El ejemplo trata de probar que las secuencias convergen, y aquí está la definición de convergencia que utiliza el ejemplo:

Una secuencia ($s_n$) se dice que converge al número real $s$ siempre que para cada $\epsilon>0$ exista un número $N$ tal que $n>N$ implica $|s_n-s|<\epsilon$.

Ahora, el ejemplo es el siguiente:

Sea ($s_n$) una secuencia de números reales no negativos y supongamos que $s=\text{lim}s_n$. Notemos que $s \geq 0$. Demuestra que lim$\sqrt{s_n}=$lim$\sqrt{s}$.

Luego, el autor divide el trabajo en dos casos: cuando $s=0$ y cuando $s>0$. El caso en el que $s=0$ se deja como ejercicio y al parecer trivial, pero mi pregunta es acerca de cuando $s>0$.

Muestra que para $\epsilon>0$ debemos probar que $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que $n>N$ implica $|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}|<\epsilon$

Para $s>0$, tenemos que

$$|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}|=\frac{|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}||\sqrt{s_n}+\sqrt{s}|}{|\sqrt{s_n}+\sqrt{s}|}=\frac{|s_n-s|}{\sqrt{s_n}+\sqrt{s}}\leq\frac{|s_n-s|}{\sqrt{s}},$$

Entonces seleccionaremos $N$ para que $|s_n-s|<\sqrt{s}\epsilon$ para $n>N$.

Lo que me confunde es de dónde sacó $|s_n-s|<\sqrt{s}\epsilon$. Si reorganizas la ecuación anterior, obtienes $\sqrt{s}|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}|\leq|s_n-s|$. No entiendo cómo $|s_n-s|<\sqrt{s}\epsilon$ cuando $\sqrt{s}|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}|\leq|s_n-s|$ y $|s_n-s|<\epsilon$.

Gracias por cualquier aclaración. Hay una buena posibilidad de que haya malentendido algo hasta este punto, así que cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Lo que me confunde es de dónde sacó $|

Answer 2

Lo importante que debemos comprender aquí (y en muchos otros problemas de todas las áreas de las matemáticas) es que hay una gran diferencia entre encontrar una prueba y escribir lógicamente una prueba. Es común (aunque no obligatorio) encontrar una prueba trabajando hacia atrás: comienza con lo que quieres probar y encuentra las condiciones que lo hacen verdadero. Lógicamente, esto es un sinsentido: no puedes probar que algo es verdadero si comienzas asumiendo que es verdadero. Entonces, debes comenzar con las condiciones que has encontrado y escribir una prueba que conduzca a la conclusión que deseas.

En el caso presente, el autor ha, efectivamente, resuelto la desigualdad deseada $$\frac{|s-s_n|}{\sqrt s}<\epsilon$$ para obtener $$|s-s_n|<\sqrt s\epsilon\ ;$$ y ha notado que como $\sqrt s\epsilon$ es un número positivo$^{\textstyle*}$ y $s_n\to s$, existe un $N$ tal que esto es verdadero siempre que $n>N$. Lo que realmente debería hacerse ahora (aunque lo ha dejado a discreción del lector) es escribir la prueba completa y en una secuencia lógica clara y correcta, quizás de la siguiente manera.

Sea $\epsilon>0$.

Entonces $\sqrt s\epsilon>0$; por lo tanto, existe un $N$ tal que si $n>N$, entonces $|s_n-s|<\sqrt s\epsilon$.

Para ese $N$, si $n>N$ tenemos $$|\sqrt{s_n}-\sqrt s|\cdots\langle\hbox{algebra as above}\rangle\cdots<\epsilon\ ,$$ y así, por definición, $\lim_{n\to\infty}\sqrt{s_n}=\sqrt s$.

Entonces, para resumir: el autor no (realmente) dijo $$|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}|\leq\frac{|s_n-s|}{\sqrt{s}}\ \hbox{y}\ |s_n-s|<\epsilon \quad\Rightarrow\quad |s_n-s|<\sqrt{s}\epsilon\ ,$$ realmente dijo $$|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}|\leq\frac{|s_n-s|}{\sqrt{s}}\ \hbox{y}\ |s_n-s|<\sqrt{s}\epsilon \quad\Rightarrow\quad |\sqrt{s_n}-\sqrt{s}|\le\epsilon\ .$$ Esta manera de escribir las cosas no es realmente precisa (o para ser más amable, es precisa pero aún no está completa), pero desafortunadamente es bastante común.

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$^{\textstyle*}$ Por cierto, esta es la razón por la cual el caso $s=0$ debe tratarse por separado.

Answer 3

Sea $\epsilon>0$. Tomemos el número $\epsilon\sqrt{s}$. Notemos que $\epsilon>0$ y $\sqrt{s}>0$ porque $s>0$. Entonces $\epsilon\sqrt{s}>0$. Para este número positivo, por el hecho de que $s_n$ converge a $s$, por definición, existen un $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n>N$ entonces $|s_n-s|<\epsilon\sqrt{s}$ (si una secuencia converge a un número, entonces podemos hacer la distancia entre la secuencia y el límite más pequeña que cualquier número positivo y aquí, $\epsilon\sqrt{s}$ es un número positivo). Entonces $$|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}|=\frac{|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}||\sqrt{s_n}+\sqrt{s}|}{|\sqrt{s_n}+\sqrt{s}|}=\frac{|s_n-s|}{\sqrt{s_n}+\sqrt{s}}\leq\frac{|s_n-s|}{\sqrt{s}}<\frac{\epsilon\sqrt{s}}{\sqrt{s}}=\epsilon$$ Así, si $n>N$ entonces $|\sqrt{s_n}-\sqrt{s}|<\epsilon$.

Answer 4

El autor no obtuvo no recibió $\lvert s_n-s\rvert<\sqrt s\,\varepsilon$. En cambio, utilizó el hecho de que sabía que, para cualquier $\varepsilon'>0$, hay un natural $N$ tal que $n\geqslant N\implies\lvert s_n-s\rvert<\varepsilon'$ y decidió tomar $\varepsilon'=\sqrt s\,\varepsilon$. Y lo hizo porque eso fue útil para la prueba.