Normas Equivalentes para el Dual de los Espacios de Sobolev / Bessel

Question

Usando la notación estándar, nos referimos a $H^s(\mathbb R) = W^{s,2}(\mathbb R)$ como los espacios de Hilbert de Sobolev. Como suele ser el caso, es natural considerar las propiedades de las funciones en $H^s(\mathbb R)$ observando cómo se comporta en el dominio de Fourier, más específicamente, tenemos que para cualquier $s\in \mathbb{R}$,

$ \begin{align*} H^s(\mathbb{R}) = \{ g \in L_2(\mathbb{R}) : \int (1+t^2)^{s}|\mathcal{F} g(t)|^2dt < \infty\}, \end{align*} $

donde $\mathcal{F}$ es la transformada de Fourier. Es importante notar que esto funciona también para $s<0$, por lo que los espacios de Sobolev de orden negativo se definen fácilmente. En particular, se puede definir la norma de $H^s(\mathbb{R})$ como la relación $\|g\|_s = \int (1+t^2)^{s}|\mathcal{F}g(t)|^2dt$.

$\textbf{Mi primera pregunta:}$ He visto, en particular en el libro Espacios de Sobolev de Adams, Fournier (página 64), que otra forma de definir la norma del espacio dual de $H^s$, que parece ser $H^{-s}$, es la siguiente: $$ \begin{align*} \|g\|^*_{-s} = \sup_{h\in H^{s}}\frac{\langle g,h\rangle}{\|h\|_s}, \end{align*} $$

donde $\langle g,h\rangle$ es el producto interno estándar de $L_2$. Estoy teniendo dificultades para determinar si la norma definida por transformaciones de Fourier o la definida usando el espacio dual son equivalentes o no. Lo más lejos que he podido llegar es que $\|g\|^*_{-s} \leq (2\pi)^{-1}\|g\|_{-s}$ usando la relación de Parceval.

$\textbf{Mi segunda pregunta:}$ Si parece haber una relación, entonces me gustaría restringir la atención a espacios de la forma $H^{s}(A)$ donde $A\subset \mathbb{R}$ con una norma definida $\|g\|_{s,A} = \inf\{ \|g^{'}\|_s : g^{'}_{|A} = g\}$ para todo $g\in H^s(A)$. ¿Existe una relación entre $\|g\|_{s,A}$ y

$$ \begin{align*} \|g\|_{-s,A}^* = \sup_{h\in H^s(A)}\frac{\langle g,h\rangle_{A}}{\|h\|_{s,A}}, \end{align*} $$

donde $\langle g,h\rangle_{A}$ es el producto interno estándar de $L_2$ restringido a $A$? Estoy teniendo dificultades tratando de relacionar los dos, porque parece que hay una relación natural globalmente, que esperaría que exista también una relación local.

Answer 1

La pregunta 1 ha sido abordada por Mark en los comentarios (faltan valores absolutos en tu fórmula), pero déjame que lo mire rápidamente de nuevo: simplemente toma transformadas de Fourier para ver que $$ \|g\|_{-s}^*=\sup_{\|h\|_s=1} |\langle g,h\rangle | = \sup \left\{ |\langle \widehat{g}, \widehat{h}\rangle | : \|(1+t^2)^{s/2}\widehat{h}\|_2 = 1 \right\} = \sup \left\{ |\langle (1+t^2)^{-s/2}\widehat{g}, (1+t^2)^{s/2}\widehat{h} \rangle | : \ldots\right\}=\|g\|_{-s} . $$ Nótese que en el tercer $\sup$, podemos simplemente interpretar $\langle. , .\rangle$ como el producto escalar estándar de $L^2(\mathbb R)$; esto identifica este $\sup$ como la norma $L^2$ del primer argumento del producto escalar, que es $\|g\|_{-s}$.

En cuanto a la pregunta 2, esta fórmula fallará gravemente para las restricciones porque (a diferencia del caso $U=\mathbb R$) la acción de las distribuciones $H^{-s}(U)$ en funciones de $H^s(U)$ no se extiende. En primer lugar, probablemente queramos insistir en conjuntos abiertos $A=U$, para que podamos restringir distribuciones con sentido. (Restringimos una distribución a un conjunto abierto aplicándola solo a funciones de prueba con soporte en ese conjunto). Luego considera, por ejemplo, $g(x)=1/x$ en $U=(0,1)$. Entonces $g\in H^{-1/2-\epsilon}(U)$ según tu definición porque $g$ es la restricción de $PV-1/x$ a $U$. Sin embargo, si probamos contra un $h\in H^{1/2+\epsilon}(0,1)$ con $h=1$ cerca de cero, entonces $\langle g, h\rangle $ ni siquiera está definido.