¿Qué significa red finita $\epsilon$-net?

Question

$\mathbf{\text{Definición}\,\,4.3.6\,\,}$

Sea $A$ un subconjunto de un espacio métrico $X$.

Decimos que $A$ es totalmente acotado si para cada $\varepsilon\gt0$, podemos encontrar un número finito de puntos $x_i,1\le i\le n$, tal que $A\subset\cup_{i=1}^{n}B(x_i,\varepsilon)$.

¡Claramente, esta es una entrada de compacidad por la puerta de atrás! ¿Ves por qué?

Diremos que un subconjunto $A\subset X$ es una $\varepsilon$-red si $d_A(x)\lt\varepsilon$ para cualquier $x\in X$.

Así que $X$ está totalmente acotado si existe una $\varepsilon$-red finita para cada $\varepsilon\gt0.$

donde $d_A(x)=\inf\{d(x,a):a\in A\}$

Ahora mi pregunta involucra la última línea:

Así que $X$ está ... para cada $\epsilon>0$.

¿Qué significa una $\epsilon$-red finita? ¿Se refiere a un número finito de $\epsilon$-red o a una $\epsilon$-red que contiene un número finito de elementos?

Answer 1

"$A\subset X$ es una $\varepsilon$-red finita" significa que $A$ es finito y es una $\varepsilon$-red. El conjunto finito depende de $\varepsilon$ en este contexto.