$\mathbf{\text{Definición}\,\,4.3.6\,\,}$
Sea $A$ un subconjunto de un espacio métrico $X$.
Decimos que $A$ es totalmente acotado si para cada $\varepsilon\gt0$, podemos encontrar un número finito de puntos $x_i,1\le i\le n$, tal que $A\subset\cup_{i=1}^{n}B(x_i,\varepsilon)$.
¡Claramente, esta es una entrada de compacidad por la puerta de atrás! ¿Ves por qué?
Diremos que un subconjunto $A\subset X$ es una $\varepsilon$-red si $d_A(x)\lt\varepsilon$ para cualquier $x\in X$.
Así que $X$ está totalmente acotado si existe una $\varepsilon$-red finita para cada $\varepsilon\gt0.$
donde $d_A(x)=\inf\{d(x,a):a\in A\}$
Ahora mi pregunta involucra la última línea:
Así que $X$ está ... para cada $\epsilon>0$.
¿Qué significa una $\epsilon$-red finita? ¿Se refiere a un número finito de $\epsilon$-red o a una $\epsilon$-red que contiene un número finito de elementos?
