Partimos de la Ecuación de Maxwell
$$ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0. $$
Nos tomamos de la superficie de la integración de ambos lados, para la superficie (\$s\$) dentro de la media de la ruta (\$c\$) del núcleo.
$$ \int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} $$
Utilizamos el Trazo del Teorema de volver a escribir el lado izquierdo; donde \$c\$ es en la misma dirección con el flujo magnético \$\Phi\$.
$$ \oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I $$
(La integral en el lado izquierdo de los resultados de \$NI\$, debido a que hay \$N\$ diferentes cables en el bobinado.)
El campo magnético de densidad en el interior de este tipo de núcleos se considera uniforme. Así, podemos escribir
$$ B \ell_c \desbordado\sim= \mu NI \implica B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c}; $$
donde \$\ell_c\$ es la media de longitud de ruta de acceso de la base.
Podemos encontrar el flujo magnético a partir de la densidad de flujo magnético hemos encontrado con el área de la sección transversal del núcleo de \$A_c\$.
$$ \Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c} $$
Por definición, la inductancia es la cantidad de flujo magnético generado por la corriente aplicada, que es
$$ L \desbordado\triángulo= \dfrac{\Phi}{I}. $$
Así, nos encontramos con la inductancia del sistema como
$$ \boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }. $$
Pero, todas las otras fuentes (porejemplo) dan la inductancia de una bobina como esta
$$ L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}. $$
¿Cuál es el error que me hicieron en mi derivación? Por favor explique en detalle.
