¿Puede una sucesión tener infinitos límites entre sus subsecuencias?

Question

Supongamos que tenemos una secuencia real extendida (contablemente) infinita $(x_n)$ . A continuación, considere todas sus posibles subsecuencias $(x_{n_k})$ . Podríamos considerar entonces el conjunto $$A = \{a\in \overline{\mathbb{R}}:x_{n_k}\rightarrow a \text{ for some subsequence}\}.$$

¿Este conjunto debe ser necesariamente finito?

De lo contrario, tenemos un número contable de números a los que la secuencia original se aproxima arbitrariamente un número contable de veces en su cola. ¿Existe algún tipo de argumento que demuestre que esto requeriría una secuencia incontable?

Mi idea es que podríamos tomar el supuesto conjunto contable, y luego elegir algunos $\epsilon>0$ para que no vivan dos límites en el mismo $\epsilon$ -bola. Lo suficientemente lejos en cada subsecuencia, ningún elemento en la cola de una subsecuencia puede estar también en la cola de otra. A partir de aquí, ¿es el argumento como la diagonalización de Cantor?

Límites: subseq

$a_1 : x_{n_1}, x_{n_2}, x_{n_3}, \dots$

$a_2 : x_{m_1}, x_{m_2}, x_{m_3}, \dots$

$a_3 : x_{o_1}, x_{o_2}, x_{o_3}, \dots$

Necesitaríamos un número incontable de límites para que estas subsecuencias fueran únicas, y esto contradice que la secuencia original sea contable.

Answer 1

Considere la secuencia

$$ \{1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6,...\} $$

Es decir, la secuencia en la que cuentas hasta $n$ , entonces empieza de nuevo y cuenta hasta $n+1$ . Se puede demostrar fácilmente que para cada $n\in\mathbb{N}$ se puede encontrar una subsecuencia que converja a $n$ (¡de hecho es una subsecuencia constante!).

Answer 2

Los números racionales son contables. Esto significa que existe una enumeración de los racionales por $\Bbb N$ . En otras palabras, existe una secuencia $q_n$ tal que cada número racional aparece exactamente una vez en esa secuencia.

Supongamos ahora que $r$ es cualquier número real, entonces podemos definir por inducción $q_{n_k}$ sea tal que $n_k>n_j$ para todos $j<k$ y $|r-q_{n_k}|<\frac1k$ . Así que $q_{n_0}$ es el racional de menor índice de distancia $<1$ de $r$ y $q_{n_1}$ es el racional de menor índice, cuyo índice aparece después de $n_0$ y es de distancia $<\frac12$ de $r$ etc.

Recorremos la secuencia y utilizamos el menor índice posible cuando nos acercamos lo suficiente. El hecho de que cada índice esté precedido sólo por un número finito de índices garantiza que ese índice se encontrará en algún momento.

Esto significa que todo número real es el límite de una subsecuencia (y $\pm\infty$ si desea incluirlos aquí).

Así que tienes una secuencia que tiene $2^{\aleph_0}$ puntos límite. Una observación extraña es que, aunque no sabemos si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ o no, podemos decir con seguridad que si una secuencia [de números reales] tiene infinitos puntos límite, entonces o bien tiene $\aleph_0$ o $2^{\aleph_0}$ de ellos.

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Si quieres hablar de espacios topológicos más grandes, entonces $\beta\Bbb N$ tiene una secuencia que tiene $2^{2^{\aleph_0}}$ puntos límite, aunque ahí hay que hablar de redes y no de secuencias. La aritmética cardinal simple muestra que, en un espacio de Hausdorff, éste es también el número máximo de puntos límite que puede tener una secuencia (o, mejor dicho, una red contable).

También hay espacios no-Hausdorff, pero entonces sólo puede construir ejemplo en el que un singleton es denso, por lo que una secuencia constante tiene cada punto como un punto límite, y entonces usted tiene prácticamente ninguna limitación.

Answer 3

$\sin(n) _{n=1}^{\infty}$

(introducido originalmente $\sin(1/n)$ , porque estaba pensando en $\sin(1/x)$ como $x \to 0$ .)

Answer 4

El ejemplo que me convenció de que era así fue la secuencia

$$ \left(0, 1, 0, \frac{1}{2}, 1, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, 0, \frac{1}{4},…\right)$$

que finalmente alcanzan todos los racionales en $[0,1]$ y, por lo tanto, cuya adhesión es el todo $[0,1]$ segmento. Por lo tanto, es una secuencia racional que incontablemente muchos valores de adherencia.

Answer 5

Sea $\{x\}$ denotan la parte fraccionaria de un número real $x$ es decir, $$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor.$$

Desde $\pi$ es un número irracional, la secuencia $$\{a_n\} = \{\{n\pi\}: n = 1, 2, 3, \ldots\}$$ es denso en $[0, 1]$ . (para la prueba, véase aquí .) Por lo tanto, cada punto de $[0, 1]$ es un límite de alguna subsecuencia de $\{a_n\}$ .

Este ejemplo demuestra que el conjunto de límites de subsecuencias puede hacerse incontablemente infinito.