Número de formas de elegir bolígrafos de una caja

Question

¿Cuántas formas hay de elegir 3 bolígrafos de una caja que contiene 2 bolígrafos rojos, 1 bolígrafo verde, 1 bolígrafo azul y 1 bolígrafo morado? Aquí, asumamos que el orden importa.

He llegado a la conclusión de que estos objetos son distinguibles pero una solución de C(5, 3) no me da lo que espero. Estoy asumiendo que el truco aquí es descubrir cómo manejar el hecho de que hay 2 bolígrafos rojos. He investigado y entiendo cómo hacerlo cuando el problema dice "cuántas formas hay de elegir colores específicos" pero no puedo traducirlo a este caso.

Answer 1

Este es un pequeño problema interesante para pensar acerca de técnicas, porque es lo suficientemente simple como para resolver directamente.

Así que la solución directa se puede ver como una red:

donde las ramas en las dos primeras capas de decisión representan las formas de seleccionar un bolígrafo rojo o uno no rojo, y los cuadrados en la parte inferior son las elecciones multiplicadas a lo largo de esa rama, dando un total de $12+9+12=33$ opciones de órdenes de elecciones de la caja. Por supuesto, una vez que seleccionas un bolígrafo rojo, no hay casos especiales.

Alternativamente, podrías comenzar mirando las elecciones ordenadas de tres de cinco bolígrafos de diferentes colores, $5 \times 4 \times 3 = 60$ y luego identificar cuántos de esos tienen los bolígrafos dados que ahora consideras del mismo color. Afortunadamente, si seleccionas uno o dos de los bolígrafos rojos, la acción es la misma - los casos están contados en exceso por un factor de dos (sustitución o reordenamiento). Esto deja solo el caso en el que ninguno de los bolígrafos rojos se eligen de manera distinta, lo que representa $3!=6$ opciones. Así que el resultado después de "identicalizar" los bolígrafos rojos es $(60-6)/2 +6 = 27+6 = 33$ opciones, nuevamente.