Dos variable desigualdad no homogénea

Question

Sea $$x\ge 0,y\ge 0,x\neq 1,y \neq 1$$Demostrar la desigualdad $$\dfrac {x}{(y-1)^2} +\dfrac {y}{(x-1)^2} \ge \dfrac {x+y-1}{(x-1)(y-1)} $$

Answer 1

pista: Los endpoints que puedes manejar con facilidad, para el caso más general: $x, y > 1\to x(x-1)^2 +y(y-1)^2 \geq (x+y-1)(xy-(x+y-1))\iff x(x^2-2x+1)+y(y^2-2y+1)\geq xy(x+y-1)-(x+y-1)^2\iff (x^3+y^3)-2(x^2+y^2)+(x+y)\geq xy(x+y-1)-(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y)\iff f(x,y)=x^3+y^3-(x^2+y^2)+1+3xy-(x+y) -xy(x+y)\geq 0$. Tomando derivadas parciales: $f_x=3x^2-2x+3y-1-2xy-y^2 = 0=f_y=3y^2-2y+3x-1-x^2-2xy\to f_x-f_y = 0\to (x-y)(4(x+y)-5)=0\to x=y , x+y = \dfrac{5}{4}$. Considerar cada caso por separado dará el resultado deseado.

Nota: Si quieres evitar usar cálculo, hay otra forma (te dejo probar si funciona) de demostrarlo en este punto: Demuestras: $f(x,y) \geq f(y,y)$, y $f(y,y) \geq 0$. La última desigualdad es $(y-1)^2 \geq 0.

Otro enfoque es dejar $a = x-1, b = y-1$, y asumir $a,b > 0\to \dfrac{a+1}{b^2}+\dfrac{b+1}{a^2}\geq \dfrac{a+b+1}{ab}$. Pero esto es bastante simple...porque $LHS =\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\geq \dfrac{a^3+b^3}{a^2b^2}+\dfrac{2}{ab}\geq \dfrac{ab(a+b)}{a^2b^2}+\dfrac{2}{ab}=\dfrac{a+b+2}{ab} > RHS

Answer 2

Cuando $0\leq x<1

Para los casos restantes despejamos los denominadores y consideramos la función $$f(x,y):=x(x-1)^2+y(y-1)^2-(x-1)(y-1)(x+y-1)\qquad(x\geq0, \ y\geq0)\ .$$ Cuando $x>1$ y $y>1$ escribimos $x:=1+u$, $y:=1+v$ con $u>0$, $v>0$ y obtenemos después de expandir $$\hat f(u,v)=u^2-uv+v^2+(u+v)(u-v)^2\ .$$ Esto es $>0$ ya que la forma cuadrática $u^2-uv+v^2$ es definida positiva.

Cuando $0\leq x\leq y\leq 1$ (y de manera similar, cuando $0\leq x\leq y\leq1$) denotamos la media aritmética de los dos por $u$ y escribimos $$x:=u-v,\qquad y:=u+v$$ con $0\leq u\leq 1$ y $0\leq v\leq\min\{u,1-u\}$. De esta forma obtenemos después de expandir $$\hat f(u,v)=(1-u)^2+v^2(8u-5)\ .$$ Cuando $u\geq{5\over8}$ entonces obviamente $\hat f(u,v)\geq0$. Para ${1\over2}\leq u\leq{5\over 8}$ uno tiene $$\hat f(u,v)=(1-u)^2-v^2(5-8u)\geq (1-u)^2\bigl(1-(5-8u)\bigr)\geq0\ ,$$ ya que $8u-4\geq0$. Finalmente $0\leq u\leq{1\over2}$ conduce a $$\hat f(u,v)\geq(1-u)^2-u^2(5-8u)=(1-2u)^2(1+2u)\geq0\ .$$