¿Puede un campo tener una extensión finita isomorfa pero desigual?

Question

Sea $\overline{\mathbb{Q}}$ una clausura algebraica de $\mathbb{Q}$. Entonces, ¿existen extensiones finitas $E_1, E_2$ de $\mathbb{Q}$ dentro de $\overline{\mathbb{Q}}$, tales que $E_1\neq E_2$ pero $E_2\cong E_2$?

Aquí, las extensiones $E_1, E_2$ de $\mathbb{Q}$ son isomorfas si existe un mapeo biyectivo de $E_1$ a $E_2$ que preserva la suma y la multiplicación en los campos.

En lugar de $\mathbb{Q}$, se puede tomar cualquier campo, pero allí no obtenemos ejemplos como estos (como $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$).

Por ejemplo, para $\mathbb{R}$, podemos tomar $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{C}$. Ahora entre $\mathbb{R}$ y $\overline{\mathbb{R}}$, no hay otros campos. Por lo tanto, no obtenemos $E_1, E_2$ tal que $\mathbb{R}\subseteq E_1 ,E_2 \subseteq \overline{\mathbb{R}}$ pero $E_1\neq E_2$.

Answer 1

¿Qué significa realmente "desigual" para campos isomórficos después de todo? ¿Es $\mathbb Q[\sqrt 2]$ realmente tan diferente de $\mathbb Q[X]/(X^2-2)$? Al considerar extensiones de campo de $\mathbb Q$ que se encuentran dentro de $\mathbb C$, puedes considerar, por ejemplo, $\mathbb Q[\sqrt[3]2]$ y $\mathbb Q[\sqrt[3]2\,e^{\frac23\pi i}]$, que son isomorfos por el mapeo obvio, pero solo el primero también es un subconjunto de $\mathbb R.

Answer 2

¿Qué quieres decir que no tenemos ejemplos para $\Bbb{R}$?

Supongamos que quiero extender $\Bbb{R}$. Puedes añadir $i$, un elemento tal que $i^2=-1$. También puedes añadir $k$, otro elemento tal que $k^2=-1.

Entonces $\Bbb{R}(i)\neq \Bbb{R}(k)$ pero son obviamente isomórficos.

De verdad, en álgebra, trata "isomorfismo" como igualdad.

Las cosas isomorfas son "la misma cosa, solo renombrada". Entonces, si llamas a algo con un nombre diferente, es algo diferente, pero las matemáticas no deberían importarle cómo llamamos a las cosas.