La víspera de Navidad y debajo del árbol
Había un montón de nuevas bolas, apiladas tan apretadas como podían ser.
Las bolas tan relucientes, reflejan todos los rayos de luz,
Que rebotan en la pila en todas direcciones.
Cuando, qué pasa por mi mente preguntadora:
¡Una pregunta de interés; espero que estés de acuerdo!
Desde cada punto afuera, me preguntaba si la luz
Podría llegar profundamente a través de espacios tan estrechos? 
Más precisamente, sea $\cal{B}$ una colección finita de bolas de espejo perfectas y congruentes dispuestas, digamos, en un empaquetamiento cúbico cerca de una pila de balas. Sea $H$ el conjunto de puntos dentro del cascarón convexo cerrado de $\cal{B}$, $H^+ = \mathbb{R}^3 \setminus H$ los puntos afuera, y $H^- = H \setminus \cal{B}$ los puntos en las grietas internas.
P1. ¿Es cierto que cada punto $a \in H^+$ puede iluminar cada punto en $b \in H^-$ en el sentido de que hay un rayo de luz desde $a$ que llega a $b$ después de un número finito de reflexiones?
Creo que la respuesta a P1 es 'No': Si $a$ está lo suficientemente cerca de un punto de contacto entre una bola de $\cal{B}$ y $H$, entonces todos los rayos desde $a$ se desvían hacia $H^+$. Si esto es correcto, la pregunta se convierte en: ¿qué par de puntos $(a,b)$ pueden iluminarse mutuamente, para una colección dada $\cal{B}$? Específicamente:
P2. ¿Existe algún radio finito $R$ de una esfera $S$ que encierre una colección $\cal{B}$ tal que cada punto $a$ fuera de $S$ pueda iluminar cada punto $b \in H^-$? Más precisamente, ¿hay condiciones en $\cal{B}$ que aseguren que tal afirmación se cumpla?
Si los centros de las bolas en $\cal{B}$ son colineales, entonces los puntos en el cilindro delimitante no iluminan completamente. Si los centros de las bolas son coplanares, entonces los puntos en ese plano no iluminan completamente. Así que algunas configuraciones deben ser excluidas. Quizás una condición previa análoga a esta podría ser suficiente: Si el cascarón $H$ de $\cal{B}$ encierra una esfera de más del doble del radio común de las bolas, entonces ...? Si no hay un resultado general, ¿se puede establecer para apilamientos como los ilustrados arriba?
Las respuestas (especialmente la de Bill Thurston) en respuesta a la pregunta anterior de MO sobre rayos de luz rebotando entre cuerpos convexos pueden ser relevantes. ¡Incluso respuestas especulativas son bienvenidas!
Edición (23 de diciembre). Aunque sigo siendo optimista de que haya un teorema interesante oculto aquí, la observación de fedja de que los puntos cerca del límite del cascarón permanecen oscuros hace que sea un desafío formular una afirmación precisa de un posible teorema. Algo así como esto:
Si $\cal{B}$ es suficientemente "gruesa," entonces cada punto $a$ suficientemente lejos de $\cal{B}$ ilumina cada punto $b$ en $H^-$ que no esté demasiado cerca del límite de $H$.
Edición (24 de diciembre). Hay una pregunta computacional asociada, interesante incluso en dos dimensiones:
Dado $a$ y $b$, ¿cuál es la complejidad de decidir si $a$ puede iluminar a $b$?
¿Es siquiera decidible?
