Tasa de cambio de conversión

Question

Si la tasa de cambio EUR/USD cayó un -0,96%, ¿cuánto ha aumentado la tasa de cambio USD/EUR?

Según los gráficos a continuación, el número sería +0,97% (actualmente) pero no logro entender cómo se relacionan estos números.

EUR/USD

USD/EUR

Por favor, indique una fórmula para convertir el cambio porcentual de USD/EUR al cambio de EUR/USD.

Answer 1

Pista
Deje que la tasa de cambio original $€\to\$$ sea $r$. Entonces la tasa de cambio original $\$\to€$ era $\frac1r$. Ahora la nueva tasa de cambio $€\to\$$ es $$r'= r \cdot (1-0.0096)$$ La tarea ahora es escribir $\frac1{r'}$ en términos de $\frac1r\cdot (1+a)$ donde $a$ es el aumento de la tasa que estás buscando.

Answer 2

Para derivar la fórmula, es mejor suponer que la tasa de cambio tiene algún valor, de hecho que tiene un valor "anterior" y un valor "posterior", y dar nombres a esos valores.

Supongamos que inicialmente (en el tiempo $t_0$), $\unicode{0x20AC}1 = \$E_0$, es decir, podemos intercambiar $E_0$ dólares por euro, por lo que $E_0$ es la tasa de cambio EUR/USD en la notación de esta página.

Entonces inicialmente $\$1 = \unicode{0x20AC}\frac1{E_0}$, es decir, la tasa USD/EUR es $\frac1{E_0}$.

Supongamos que en un momento posterior $t_1$ la tasa EUR/USD ha cambiado a $E_1$. Entonces esa tasa USD/EUR en ese momento es $\frac1{E_1}$.

El cambio porcentual en la tasa EUR/USD durante este período de tiempo se calcula mediante la fórmula

\begin{align} \%\text{ cambio en EUR/USD} &= \frac{E_1 - E_0}{E_0} \times 100\% \\ &= \left(\frac{E_1}{E_0} - 1\right) \times 100\%. \end{align}

El cambio porcentual en la tasa USD/EUR durante el mismo período de tiempo es

\begin{align} \%\text{ cambio en USD/EUR} &= \frac{\frac{1}{E_1} - \frac{1}{E_0}}{\frac{1}{E_0}} \times 100\% = \left(\frac{\left(\frac{1}{E_1}\right)} {\left(\frac{1}{E_0}\right)} - 1\right) \times 100\% \\ &= \left(\frac{E_0}{E_1} - 1\right) \times 100\%. \end{align}

Es decir,

\begin{align} 1 + \frac{\%\text{ cambio en EUR/USD}}{100\%} &= \frac{E_1}{E_0} \\ 1 + \frac{\%\text{ cambio en USD/EUR}}{100\%} &= \frac{E_0}{E_1} = \frac{1}{\left(\frac{E_1}{E_0}\right)}.\\ \end{align}

Por lo tanto $$ 1 + \frac{\%\text{ cambio en USD/EUR}}{100\%} = \frac{1}{1 + \frac{\%\text{ cambio en EUR/USD}}{100\%}}. $$

Como puedes ver, todos los símbolos $E_0$ y $E_1$ han desaparecido de esta fórmula, dejando solo el cambio conocido en una tasa de cambio y el cambio deseado en la otra tasa de cambio como variables. No es necesario conocer las tasas de cambio reales en cualquier momento para aplicar esta fórmula.

Si deseas una fórmula que tenga solo el cambio porcentual en la tasa de cambio USD/EUR en el lado izquierdo, puedes restar $1$ de ambos lados de la ecuación anterior y luego multiplicar ambos lados por $100\%$, pero yo encuentro la ecuación más intuitiva tal como está.