¿Está toda extensión finita dentro de una extensión abeliana maximal también abeliana?

Question

Sea $K$ un campo local. Definamos $$ K^{ab} = \bigcup_{ \substack{ L \subseteq K^{sep} \\ L/K \ \text{ finito abeliano } } } L. $$

Supongamos que tengo una extensión finita $F/K$ donde $F$ está contenida dentro de $K^{ab}$. ¿Se sigue entonces que $F$ es una extensión abeliana de $K$? (Creo que esto debería ser cierto por una razón fácil, pero no lo estoy viendo en este momento...)

¡Gracias!

Answer 1

Sí. Deje que $K$ sea cualquier campo y deje que $M$ sea cualquier extensión abeliana (algebraica, pero no necesariamente finita). Deje que $F/K$ sea cualquier subextensión de $M/K$. Entonces $F/K$ es abeliano (al igual que $M/F).

De hecho, $H = \mathrm{Gal}(M/F) \leq G = \mathrm{Gal}(M/K)$ es un subgrupo normal (cerrado), ya que $G$ es abeliano. En particular, $F/K$ es una extensión de Galois y además, el cociente $G/H$ es isomorfo (como grupo topológico) a $\mathrm{Gal}(F/K)$ (ver teorema 2.3.6), y este es un grupo abeliano. Por lo tanto, $F/K$ es abeliano.