Condición de gavilla y representabilidad en la categoría Top

Question

Esta es una pregunta bastante interesante que recibí de este usuario a través de comunicación privada.

Sea $\mathcal{C} = Top$ la categoría de espacios topológicos. Sea $\mathcal{C}^\prime$ la categoría $Funct(\mathcal{C}^{op}, Sets)$. ¿Se dice que $F \in \mathcal{C}^\prime$ es un haz, con la condición habitual de parcheo? ¿Implica esto que F es representable?

Una forma elemental de expresar esto sin usar la terminología de teoría de categorías: Diga que un conjunto $X$ está dotado de los siguientes datos:

Para cada espacio topológico $Y$, un subconjunto $M(Y,X) \subset Maps(Y,X)$, tal que,

1. cuando $f: Y \rightarrow X$ en $M(Y,X)$, y $g : Z \rightarrow Y$ continua, $f \circ g : Z \rightarrow X$ pertenece a $M(Z,X)$.

2. Si ${U_i}$ es una cubierta abierta de $Y$, y $f: Y \rightarrow X$ es una aplicación de conjuntos, entonces $f \in M(Y,X)$ si y solo si $f|_{U_i} \in M (U_i, X)$ para todo $i$.

Ahora, dote a $X$ de la topología más fina tal que para todo $f: Y \rightarrow X \in M (Y,X)$ [para todo espacio topológico $Y$], $f$ se vuelve continua. En otras palabras, declare que $U \subset X$ es abierto si para todo $f \in M(Y,X)$ para todo $Y \in ob (Top)$, $f^{-1} (U)$ es abierto. [es claro que esa es una topología].

Es claro que bajo esta topología, $f \in M(Y,X)$ es continua. ¿Se cumple la afirmación contraria? es decir, ¿si $f: Y \rightarrow X$ es continua, entonces ¿es $f \in M(Y,X)$?

Answer 1

Hay muchos contraejemplos. Toma una propiedad de funciones definidas entre espacios topológicos, como acotadas, y define el haz de funciones que tienen esta propiedad localmente. Esto funciona en la mayoría de los casos, creo.

Define $F(Y) := \{f : Y \to \mathbb{R} : f \text{ es localmente acotada}\}$. Claramente, este es un subhaz de $Maps(-,\mathbb{R})$. Supongamos que $F$ es representable, entonces $X:=F(pt)=\mathbb{R}$ es el objeto que representa y lleva la topología más fina, haciendo que todas las $f \in F(Y)$ sean continuas. Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto no vacío de $X$, y toma $Y$ como un intervalo acotado arbitrario alrededor del cual interseca con $U$, dotado con la topología indiscreta, y $f : Y \to X$ la inclusión. Entonces $f \in F(Y)$, por lo tanto $f$ es continua, lo que significa que $Y \subseteq U$. Al poder variar $Y$, obtenemos $U = X$. Por lo tanto, $X$ lleva la topología indiscreta. Pero entonces $X$ representa el funtor $Maps(Y,\mathbb{R})$, que es más grande que $F$.

Hay otra razón por la que $F$ no es representable, es decir, $F$ no preserva colímites. Una función $f : Y/\sim \to \mathbb{R}$, cuya composición con $Y \to Y/\sim$ es localmente acotada, no tiene que ser localmente acotada. Toma $Y = \mathbb{R}$ y colapsa $\mathbb{Z}$ a un punto, y deja el supremo de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ alrededor de $z \in \mathbb{Z}$ como $|z|$, pero tomando los mismos valores en $z$.

Una pregunta razonable ahora es: Sea $F : Top^{op} \to Sets$ un haz continuo. ¿Entonces $F$ es representable? Si el mapa canónico $F \to Maps(-,F(pt))$ es inyectivo, se cumple la condición de conjunto solución y podemos aplicar el Teorema de Representabilidad de Freyd. EDIT: Ok, esto se deduce de SAFT.