Sí, el producto libre del grupo libre de rango $n$ y el grupo libre de rango $m$ es isomorfo al grupo libre de rango $n+m$. Tenga en cuenta también que si $G$ es libre de rango $2$, y dos elementos de $a$ $b$ generar $G$, $a$ $b$ debe libremente generar $G$. Una forma de ver esto es para invocar el hecho de que un grupo libre de rango finito es Hopfian. Otra es asumir que hay un trivial reducido palabra en $a$ $b$ igual a la identidad, a tener libre la generación de set$x$$y$, expresar $a$ $b$ en términos de$x$$y$, y la sustituya en el trivial palabra que expresa la identidad; esto producirá un trivial de la palabra en $x$ $y$ igual a la identidad (algo de trabajo necesita ser hecho aquí, por supuesto), contradiciendo la elección de $x$ $y$ libre de generación del sistema. Y hay otras maneras, por supuesto.
Una manera fácil de conseguir esto es como un corolario del hecho de que el grupo functor es la izquierda adjunto del conjunto subyacente functor. Es decir, para cada grupo de $G$ y cada set $X$,
$$\mathcal{G}roup(\mathbf{F}(X),G) \longleftrightarrow \mathcal{S}et(X,\mathbf{U}(G)),$$
donde $\mathbf{F}(X)$ es el grupo en el set $X$ $\mathbf{U}(G)$ es el conjunto subyacente de que el grupo $G$.
Porque el libre grupo functor es un adjunto a la izquierda, envía co-productos de co-productos. Es decir, el subproducto de dos grupos de $F(X)$ $F(Y)$ en la categoría de grupos es el grupo en el subproducto de $X$ $Y$ en la categoría de conjuntos. El subproducto en la categoría de grupos es el producto y el subproducto de conjuntos es distinto de la unión. Por lo tanto, existe un isomorfismo natural
$$F(X\amalg Y) \cong F(X)*F(Y).$$
Usted también puede resultar directamente de la universal de los bienes: la característica universal de la libre grupo en $X\amalg Y$ (distinto de la unión) es que para cada conjunto teórico mapa de $f\colon X\amalg Y\to G$ a un grupo de $G$, no hay un único grupo de homomorphism de $F(X\amalg Y)\to G$ que se extiende $f$. Por otro lado, la característica universal de la libre producto $F(X)*F(Y)$ es que para cada par de grupo homomorphisms $\varphi\colon F(X)\to G$$\psi\colon F(Y)\to G$, no hay un único grupo de homomorphism $\Psi\colon F(X)*F(Y)\to G$ tal que $\Psi\circ i_{F(X)}=\varphi$ $\Psi\circ i_{F(Y)}=\psi$ donde $i_{F(X)}\colon F(X)\to F(X)*F(Y)$ $i_{F(Y)}\colon F(Y)\to F(X)*F(Y)$ son de la canónica de inclusiones.
Un conjunto teórico mapa de $f\colon X\amalg Y\to G$ es equivalente a un par de mapas de $g\colon X\to G$$h\colon Y\to G$; el mapa de $g\colon X\to G$ induceds un mapa de $\varphi\colon F(X)\to G$, mientras que el mapa de $h\colon Y\to G$ induce un mapa de $\psi\colon F(Y)\to G$, que a su vez induce un mapa de $F(X)*F(Y)\to G$; ahora es muy sencillo comprobar que este mapa se extiende $f$, y de que es única, por lo que el %de$F(X)*F(Y)$tiene la característica universal de $F(X\amalg Y)$, y por lo tanto son isomorfos.
O: las inclusiones $X\to F(X)\to F(X)*F(Y)$ $Y\to F(Y)\to F(X)*F(Y)$ inducir una inclusión $X\amalg Y\to F(X)*F(Y)$, que a su vez induce una de morfismos $F(X\amalg Y)\to F(X)*F(Y)$. Por el contrario, el mapa de $X\to F(X\amalg Y)$ induce un mapa de $F(X)\to F(X\amalg Y)$, e $Y\to F(X\amalg Y)$ induce un mapa de $F(Y)\to F(X\amalg Y)$, y estos dos mapas juntos inducir un mapa de $F(X)*F(Y)\to F(X\amalg Y)$. Ahora es fácil comprobar que la induce mapas de $F(X\amalg Y)\to F(X)*F(Y)$ $F(X)*F(Y)\to F(X\amalg Y)$ son inversos el uno, en el habitual resumen de absurdo argumento sobre sus composiciones tener la misma característica universal como la identidad correspondiente.
P. S. La igualdad de $F(a,b)=\langle a\rangle*\langle b\rangle$, presumiblemente, sólo significa que no hay un único isomorfismo entre los dos objetos que se asigna a $\{a\}$ $\{b\}$ a sí mismos como la identidad; esto es una consecuencia de sus respectivas propiedades universales/adjointness de libre grupo de construcción.
