Ejemplos de anillo de grupo integral noetheriano

Question

Necesito estudiar el anillo de grupo integral del grupo fundamental de una variedad. Mi conocimiento de teoría de grupos y anillos es muy limitado. Estoy buscando algunos ejemplos de grupos $G$ para los cuales $\Bbb ZG$ sea Noetheriano. Hasta ahora, entiendo que en los siguientes casos, $\Bbb ZG$ se vuelve Noetheriano:

• $G$ es finito,
• $G$ es un grupo abeliano finitamente generado,
• $G$ es un grupo virtualmente policíclico (debido a P. Hall).

¿Podrías proporcionar algunos ejemplos más, posiblemente con demostraciones o referencias?

Answer 1

No se conocen ejemplos de grupos con anillos de grupo integrales noetherianos que no sean grupos virtualmente policíclicos. El siguiente resultado y texto posterior está citado de

Kropholler, Peter; Lorensen, Karl, Anillos graduados por grupo que satisfacen la condición de rango fuerte, J. Algebra 539, 326-338 (2019). ZBL1453.16046.

Corolario B. Sea $G$ un grupo y $S$ un dominio. Si $SG$ es noetheriano ya sea a la derecha o a la izquierda, entonces $G$ es amenable y todo subgrupo de $G$ es finitamente generado.

El Corolario B es relevante para la conjetura de larga data de que, si $G$ es un grupo tal que $\mathbb{Z}G$ es noetheriano ya sea a la izquierda o a la derecha, entonces G debe ser virtualmente policíclico. El corolario aporta más credibilidad a esta conjetura, ya que los únicos grupos amenable en los que se sabe que cada subgrupo es finitamente generado son aquellos que son virtualmente policíclicos.