Límite de decaimiento en $\int_0^1 (1 - x^r) \cos(kx) dx$.

Question

Para $r \in (0, 2)$, me gustaría estimar el decaimiento de $f(k) = \int_0^1 (1 - x^r) \cos(kx) dx$ cuando $k \to \infty$. De hecho, según el lema de Riemann-Lebesgue, $\lim_{k \to \infty} f(k) = 0$.

Para $r = 1$, uno puede calcular explícitamente $f$ y obtener que $|f(k)| \leq k^{-2}$ para $k \geq 1$. Para $r \in (0, 1)$, realizando una integración por partes, he demostrado que $|f(k)| \leq 1/k^r$, para $k \geq 1$. También utilizando integración por partes, para $r \in (1, 2)$, solo pude demostrar que $|f(k)| \leq r/k$, para $k \geq 1$.

Sin embargo, con respecto al caso $r = 1$, creo que los límites para $r \neq 1$ no son precisos en absoluto.

Mi pregunta es: ¿podemos demostrar que $|f(k)| \leq C/k^{1+r}$ para $k \geq 1$ y donde $C > 0$ es una constante?

Editar: Tengo un argumento que muestra que los límites que obtengo no son precisos. Al integrar por partes: $f(k) = \frac{r}k \int_0^1 x^{r-1} \sin(kx) dx$. Según el lema de Riemann-Lebesgue, la integral tiende a $0$ cuando $k \to \infty$. Por lo tanto, $f(k) = o(1/k)$.

Entonces, el problema es equivalente a $I(k) = \int_0^1 x^{r-1} \sin(kx) dx = O(1/k^r)$. Al cambiar de variable $I(k) = k^{-r} \int_0^k y^{r-1} \sin(y) dy$. No sé cómo manejar esta integral impropia.

Answer 1

La integral se puede simplificar de la siguiente manera: $$\begin{align*} f(k) &= \int_0^{1} \cos{(kx)} dx -\int_{0}^{1} x^r \cos{(kx)}dx \\ &= \frac{\sin{k}}{k} - \left[ \left. x^r \frac{\sin{kx}}{k}\right|_{0}^{1}-\frac{r}{k}\int_{0}^{1}x^{r-1}\sin{(kx)}dx\right]\\ &= \frac{r}{k}\int_{0}^{1}x^{r-1}\sin{(kx)}dx \end{align*}$$ nos detenemos aquí si $r\in (0,1]$. Ahora, si $r \in (1,2)$, entonces podemos hacer integración por partes nuevamente para obtener $$\begin{align*} f(k)&= \frac{r}{k}\int_{0}^{1}x^{r-1}\sin{(kx)}dx = \frac{r}{k^2}\left[-\cos{(k)}+(r-1)\int_{0}^{1}x^{r-2}\cos{(kx)}dx \right],\\ |f(k)|&\le \frac{r}{k^2}\left[1+(r-1)\int_{0}^{1}x^{r-2}dx\right] = \frac{2r}{k^2}. \end{align*}$$ Lamentablemente, esto es lo mejor que podemos hacer en este caso. Volviendo al caso de $r\in (0,1]$, tenemos que $$f(k)=\frac{r}{k}Im\left\{\int_{0}^{1}x^{r-1}e^{ikx}dx\right\}$$ y dado que $|Im(z)| \le |z|$ para un número complejo $z$, obtenemos la cota $|f(k)|\le \frac{r}{k}\left|\int_{0}^{1}x^{r-1}e^{ikx}dx\right|$. Ahora considera el siguiente contorno, Definiendo la integranda $g(z) = z^{r-1}e^{ikz}$, muestra que $\int_{C_{\epsilon}} g(z) dz \to 0$ cuando $\epsilon \to 0$ y $\int_{C_{2}} g(z) dz = O\left( \frac{1}{k}\right)$. Por lo tanto, obtendrás el resultado que $$\int_{0}^{1}x^{r-1}e^{ikx}dx = ie^{i\frac{\pi}{2}(r-1)}\int_{0}^{1} t^{r-1}e^{-kt}dt+O\left( \frac{1}{k}\right) = O\left( \frac{1}{k^r}\right)$$ y $|f(k)| \le \frac{r!}{k^{r+1}}$.