¿función de densidad de probabilidad de una función de una variable aleatoria?

Question

Digamos que tenemos una variable aleatoria $X$ con alguna distribución de probabilidad $D$. Por ejemplo, $D$ podría ser la distribución normal: $$\text{pdf}_X(x)=D(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi \sigma ^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{1\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx$$

Ahora digamos que tenemos una función arbitraria $f(x)$. Entonces podemos definir una nueva variable aleatoria $Y=f(X).

Ahora mi pregunta es, ¿cuál es la función de densidad de probabilidad de $Y$? ¿Cuál es $\text{pdf}_Y$, dado que conocemos $f(x)$ y $\text{pdf}_X$?

O más generalmente: ¿Cómo abordamos la resolución de este problema? Ni siquiera sé por dónde empezar.

Answer 1

Esta es una pregunta de transformación de variable aleatoria. Si $X$ tiene una función de densidad de probabilidad $D(x)$ y $y=f(x)$ es una función uno a uno, la función de densidad de probabilidad ($D'(Y)$) de $y$ puede escribirse como

\begin{equation} D'(y)=D(g^{-1}(y))\times\left| \frac{dx}{dy}\right|. \end{equation}

Para más detalles, revise el siguiente texto: http://math.arizona.edu/~jwatkins/f-transform.pdf.