Bloch's theorem

Question

Estoy estudiando el teorema de Bloch, que se puede enunciar de la siguiente manera:

Las autofunciones de la ecuación de onda para un potencial periódico son el producto de una onda plana $e^{ik \cdot r}$ por una función de modulación $u_{k}(r)$, que tiene la periodicidad de la red. En total: $\psi_k (r) = u_k(r)e^{ik\cdot r}$. [Referencia: Kittel - Introducción a la física del estado sólido.]

Tengo problemas para entender completamente el teorema de Bloch. ¿Puedo ver el vector de onda $k$ como el momento físico real del electrón, que se mueve en un potencial periódico, es decir, define la longitud de onda a través de $\lambda = 2\pi/k$? ¿Y cómo se relaciona esto con el hecho de que todos los vectores de onda se pueden traducir de vuelta a la primera zona de Brillouin?

Answer 1

Aquí hay una respuesta simple:

Solo vamos a calcular el momento de una partícula con una función de onda de Bloch

$$\begin{eqnarray} \left.\langle x \right| \hat{p}\left|\Psi \rangle\right. &=& -i\hbar \left(\frac{d}{dx}\right) u_k(x) e^{i k x} \\ &=& -i \hbar \left( i k u_k(x) e^{ikx} + u_k'(x)e^{ikx}\right) \\ &=& \left( pu_k(x) - i\hbar u_k'(x)\right)e^{ikx} \end{eqnarray}$$

donde en la última línea definimos $p\equiv \hbar k. Esto claramente muestra que la función de onda de Bloch no es una autofunción del operador de momento. Entonces, mientras siempre puedas descomponer la función de onda en ondas planas $e^{ikx}$, y cada componente es un estado propio de momento con momento $p=\hbar k$, las funciones de Bloch no son en sí mismo estados propios de momento. Por lo tanto, $k$ en $u_k(x)e^{ikx}$ no es el momento del estado de Bloch. Sin embargo, nota que si $u_k(x)=\text{constante}$ entonces $u_k'(x)=0$, obtenemos

$$\left.\langle x \right|\hat{p} \left| \Psi \rangle \right. = pu_k(x)e^{ikx}=p\left.\langle x \ |\Psi \rangle \right. = \left.\langle x \right|\ p \left| \Psi \rangle \right. $$ o en otras palabras

$$\hat{p}\left|\Psi\rangle\right. = p\left|\Psi \rangle\right. .$$

Por favor, haz una pregunta separada para lo del zona de Brillouin. Me gustaría responder esto, pero pertenece en una pregunta separada.

Answer 2

No puedes mezclar el momento cristalino $\vec{k}$ con el momento real del electrón, porque en un cristal, la simetría de traslación real está rota. Es decir, al trasladar una distancia muy pequeña, el sistema cambia, por lo tanto, el momento real no es un buen número cuántico.

Puedes comprobar que $\psi_{nk}=\psi_{nk+K}$ y $E_{nk}=E_{nk+K}$, de modo que $\psi_{nk}$ y $\psi_{nk+K}$ describen en realidad el mismo estado cuántico, por lo tanto, siempre se puede trasladar el momento cristalino fuera de la primera zona de Brillouin hacia él.