Resolver ecuaciones difíciles en la vida real

Question

$$\sqrt { x + \sqrt { 2 x + \sqrt { 4 x + \sqrt { 8 x } } } } = \sqrt { 3 + \sqrt { 3 } }$$

Primero estoy elevando al cuadrado una ecuación pero con tantos anidamientos de raíces Y luego obtuve una ecuación octica que es difícil de resolver... ¿Alguien puede ayudarme ???

Answer 1

La LHS es una función monótona, por lo que hay como máximo una solución.

Puedes sospechar una solución entera e intentar $x=1$ y luego $x=2$ ¡y bingo!

Alternativamente, puedes razonar de la siguiente manera:

Dado que la RHS está compuesta por dos raíces cuadradas anidadas con enteros, y la LHS es un anidamiento cuádruple, se deben realizar dos desanidamientos. Uno podría ser que el argumento más interno $8x$ sea un cuadrado perfecto. De lo contrario, se necesitarán dos desanidamientos de la forma $\sqrt{a+b\sqrt3}$, y $x$ debería ser un múltiplo de $3$.

No tardarás en darte cuenta de que $x=2$ tiene un orden de magnitud probable, mientras que $x=3$ o más serían demasiado grandes. Ningún otro número que no sea $2$ es posible.

Answer 2

Por $f(x)$ entendemos el LHS de la ecuación anterior ($x \ge 0$).

Entonces es fácil ver que $f(2) =\sqrt{3+\sqrt{3}}$. Dado que $f$ es estrictamente creciente en $[0, \infty)$, la ecuación $f(x)=\sqrt{3+\sqrt{3}}$ tiene la solución única $x=2.$