Líneas de campo concurrentes

Question

Estoy atascado con este problema:

Un alambre semicircular con radio R tiene densidad de carga uniforme. Muestra que en todos los puntos a lo largo del "eje" de la semicircunferencia, los vectores del campo eléctrico apuntan hacia un punto común en el plano de la semicircunferencia. ¿Dónde está este punto?

Lo que tengo hasta ahora es:

$-\lambda=\frac{dq}{ds}$

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_o}\int \frac{-\lambda ds}{r^2}\widehat{r} = \frac{-\lambda}{4\pi \varepsilon_o}\int \frac{Rd \phi}{r^2}\widehat{r} $

Tal vez sea una buena idea usar coordenadas cilíndricas, de modo que $\widehat{r}=\langle \widehat{\rho},\widehat{\theta},\widehat{z} \rangle$. Pero no estoy seguro de cómo usar esto para resolver este problema.

Answer 1

Estás casi allí:

$r^2=R^2+z^2$. En términos de un sistema de coordenadas con z vertical y x a lo largo del eje de simetría del semicírculo, puedes escribir las coordenadas del punto donde mides el campo eléctrico como $(0,0,z)$ y la fuente (un elemento de carga $dq=-\lambda R d\theta$) está en $(R\cos\theta,R\sin\theta,0)$. Luego $\vec{r}=(0,0,z)-(R\cos\theta,R\sin\theta,0)=-(R\cos\theta,R\sin\theta,-z)$, y $\hat{r}=-(R^2+z^2)^{1/2}(R\cos\theta,R\sin\theta,-z)$. Tendrás tres componentes para $\vec{E}$, dadas por $$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda R}{(R^2+z^2)^{5/2}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta(R\cos\theta,R\sin\theta,-z)$$ Ahora puedes resolver las tres integrales (para las componentes $x,y,z$). Una comprobación rápida es que la integral a lo largo de $y$ es 0. Si todos los $\vec{E}(z)$ están dirigidos hacia un punto en el plano, a lo largo del eje $x$, digamos a una distancia a desde el centro, entonces $$-\frac{E_z}{E_x}=\frac{z}{a}$$ Todo lo que necesitas ahora es encontrar a.

Answer 2

Dado que esta es básicamente una pregunta de tipo tarea, no daré la solución completa. Los diagramas se dan:

Considere un elemento de carga con carga $y$$dx$ donde y es la densidad de carga, y x es el ángulo mostrado en la VISTA SUPERIOR. A partir de la figura 2, puede ver que en un punto A a una altura z, el campo eléctrico se puede encontrar fácilmente usando el cuadrado de la distancia radial $AC^2$ = $AB^2$ = ($r^2 + z^2$) [r es el radio]. Ahora, necesita encontrar sus componentes. Así que multiplique este campo que encontró por sin($tan^-1$(z/r)) para obtener la componente vertical del campo en A. De manera similar, multiplique el campo por $cos(tan^-1(z/r))$ para obtener la magnitud del campo en la dirección OB y OC. Multiplique por cos(x) para obtener las componentes del campo en la dirección X. [nota que las componentes del campo en la dirección y se cancelan]. Ahora tiene las componentes del vector en términos de carga diferencial. Integre para obtener el campo en A debido al anillo. (integración trivial). Ahora que tiene el vector, dejaré el resto a usted para determinar dónde corta ese vector el eje X. [Sugerencia: use su conocimiento de líneas de geometría de coordenadas, o de cualquier otra manera que desee]. Déjame saber tu respuesta.