Dado el hiperanulus, un anillo generalizado a dimensiones arbitrarias con radio exterior $r_1$ y radio interior $r_0$. Este objeto sería un anillo en $\mathbb{R}^2$ y una capa esférica en $\mathbb{R}^3$.
¿Cuál es la solución para seleccionar puntos multivariados aleatorios uniformemente distribuidos en este hiperanulus sin utilizar muestreo por rechazo?
La probabilidad de que un punto elegido uniformemente de esta gruesa capa tenga una distancia $r$ o menos desde el origen es $\dfrac{r^n-r_0^n}{r_1^n-r_0^n}$ siempre que $r_0 \le r \le r_1$. Por lo tanto, si $U$ está distribuido uniformemente en $(0,1)$, puedes tomar $R=\sqrt[n]{Ur_1^n +(1-U)r_0^n}$ como el radio del punto aleatorio.
También necesitas una dirección aleatoria de $n$ dimensiones: una forma de hacer esto es tomar $n$ variables aleatorias estándarmente distribuidas $X_i$ y dividir cada una de ellas por su norma combinada $\sqrt[2]{\sum_i X_i^2}$ para dar un vector de dirección uniformemente distribuido.
Escala el vector de dirección aleatoria por el radio aleatorio y tendrás un punto aleatorio uniformemente distribuido en esta gruesa capa, aunque para $n$ grande la maldición de la dimensionalidad significa que es más probable que esté cerca del exterior que del interior de la capa.
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