Mostrar $a_1 \mathbb Z · a_2 \mathbb Z$ = $(a_1 · a_2)$ · $\mathbb Z$

Question

Sea $a_1$, $a_2$ $\mathbb Z$, Demuestra:

$a_1 \mathbb Z · a_2 \mathbb Z$ = $(a_1 · a_2)$ · $\mathbb Z$

donde $c\mathbb Z = \{c · n : n \mathbb Z\}$

Mi intento:

Sea $x$ $a_1 \mathbb Z$ entonces $x$ puede ser escrito como $x = a_1.n$ para algún $n$ $\mathbb Z$

Sea $y$ $a_2 \mathbb Z$ entonces $y$ puede ser escrito como $y = a_2.m$ para algún $m$ $\mathbb Z$

Sea $z$ $(a_1.a_2) \mathbb Z$ entonces $z$ puede ser escrito como $z = (a_1.a_2).l$ para algún $l$ $\mathbb Z$

$x.y = a_1.n . a_2.m$ = $a_1. a_2. n. m$ ya que la multiplicación es conmutativa en $\mathbb Z$

Pero dado que $l$ $\mathbb Z$, puede ser escrito como una combinación lineal, digamos $l = n.m$ entonces $z = (a_1.a_2).l = a_1. a_2. n. m = x.y$, y por lo tanto $x.y=z$ y así $x.y$ $(a_1 · a_2)$ · $\mathbb Z$, y por lo tanto $a_1 \mathbb Z · a_2 \mathbb Z$ = $(a_1 · a_2)$ · $\mathbb Z$

¿Es correcto mi intento?

Answer 1

La prueba carece un poco de claridad en su presentación. Empiezas por definir un elemento arbitrario, $x \in a_1 \Bbb{Z}$, luego un elemento arbitrario no relacionado $y \in a_2 \Bbb{Z}$, y finalmente, un tercer elemento arbitrario $z \in (a_1 a_2) \Bbb{Z}$, aparentemente no relacionado ni con $x$ ni con $y$. En el último párrafo, pareces cambiar $z$ para que ahora esté relacionado con $x$ y $y$, y en particular, para que se simplifique a $xy$.

Sería mejor si declararas $x$ y $y$ (y deducieras la existencia de $m$ y $n$ como has hecho), luego dejaras que $z = (a_1a_2)(mn)$. Puedes concluir que $z \in (a_1a_2)\Bbb{Z}$, y que $z = xy$. Esto significa que $xy \in (a_1a_2)\Bbb{Z}$, como se requiere.

De esta manera, no tienes que fingir que $z$ es arbitrario inicialmente, y solo necesitas definirlo una vez que sea útil para tu demostración. Incluso podrías saltarte la definición de $z$, y notar que $xy = (a_1a_2)(mn) \in (a_1a_2)\Bbb{Z}$.

Además, ten en cuenta que todo lo que has demostrado es que $(a_1 \Bbb{Z})(a_2 \Bbb{Z}) \subseteq (a_1a_2) \Bbb{Z}$. También necesitas un argumento separado para la dirección inversa. Es decir, necesitas ser capaz de empezar con algún $z \in (a_1a_2) \Bbb{Z}$ arbitrario y construir elementos de $x \in a_1 \Bbb{Z}$ y $y \in a_2 \Bbb{Z$, tal que $z = xy$. Pista: $1$ es un entero perfectamente válido.

Answer 2

Mostrar dos inclusiones de manera sistemática:

Sea $z \in a \Bbb Z \cdot b \Bbb Z$. Esto significa que podemos escribir $z=xy$ para algún $x \in a \Bbb Z $ y $y \in \Bbb Z $. Por definición, sabemos entonces que hay algún $n \in \Bbb Z $ y algún $m \in \Bbb Z $ tal que $x=an$ y $y=bm$. Entonces podemos concluir que (usando propiedades estándar del anillo conmutativo $\Bbb Z $)

$$z=xy=(an)(bm)=(ab)(nm)$$ y porque $nm \in \Bbb Z $ concluimos que $z \in (ab) \Bbb Z $, mostrando una inclusión.

Ahora, sea $z \in (ab) \Bbb Z $ dado. Por definición, esto significa que $z=(ab)n$ para algún $n \in \Bbb Z $. Nuevamente, usando hechos simples de anillos:

$$z=(ab)n= (an)(b1) \in a \Bbb Z \cdot b \Bbb Z $$

donde el último paso es nuevamente por definiciones: $an \in a \Bbb Z $, $b1 \in b \Bbb Z $ y por lo tanto su producto está en el producto de los conjuntos.

Mostrando ambas inclusiones, se muestra también la igualdad. La única parte "ingeniosa" es que usamos el $1$ como entero en la inclusión inversa. El resto debería escribirse solo.