Subgrupo transitivo de $S_5$ tiene un orden divisible por 5; pregunta básica

Question

¿Cómo es que un subgrupo transitivo de $S_5$ debe tener un orden divisible por 5? Puedo ver por qué cualquier subgrupo de $S_5$ con un orden divisible por 5 es transitivo, pero no veo lo contrario.

Answer 1

El teorema del estabilizador de órbita nos dice que, si un grupo finito $G$ actúa sobre un conjunto finito $X$, entonces, para cualquier $x$ en $X$, el orden de $G$ es igual al orden del estabilizador de $x$ multiplicado por el tamaño de la órbita de $x$. Si la acción es transitiva, entonces cada órbita es $X$ en sí mismo, por lo que tenemos $|G|=|\mathrm{Stab}(x)||X|$, y por lo tanto $|X|$ divide a $|G|$. Aplicando esto a la acción natural de nuestro subgrupo en $\{1,2,3,4,5\}$ nos da el resultado.