¿Cómo se descompone la representación regular de $S_3$?

Question

Necesito descomponer la representación regular de $S_3$ en irreducibles. Hasta ahora sé lo siguiente: $S_3$ está generado por $\tau = (12)$ y $\sigma = (123)$. Si $v$ es un autovector de $\sigma$ con un autovalor $\omega$, entonces $\tau(v)$ también es un autovector con un autovalor correspondiente de $\omega^2$. Juntando esto, obtenemos que una representación irreducible de $S_3$ tiene una dimensión a lo sumo de 2. También conozco las unidimensionales.

Hasta ahora he encontrado una subrepresentación bidimensional utilizando el isomorfismo $S_3\simeq SL_2(\mathbb F_2)$. Entonces la representación regular es la multiplicación izquierda de combinaciones lineales formales de matrices de $SL_2(\mathbb F_2)$ por matrices del mismo grupo. La suma de todas las transposiciones resulta ser el autovector de $\sigma$ y aplicar $\tau$ a eso da la suma de ambos 3-ciclos y una permutación identidad.

¿Cómo se busca sistemáticamente las otras subrepresentaciones? En este punto no puedo usar nada remotamente sofisticado como caracteres.

Gracias.

Answer 1

Así es como se puede hacer "a mano", es decir, sin teoría de caracteres. Todo esto se puede encontrar (en forma más comprimida) al final de la primera conferencia en Fulton, Harris "Teoría de representaciones: el primer curso". Escribiré un bosquejo.

Primero clasificamos las representaciones irreducibles de $S_3$: si $\tau = (123)$, $\sigma = (12)$, entonces $\tau$ tiene un vector propio $v$ con un autovalor $\omega$ que es una de las tres raíces cúbicas de 1. Entonces $\sigma(v)$ también es un vector propio con un autovalor $\omega^2$. Esto se sigue de $\sigma\tau\sigma = \tau^2$. Ahora, si $\omega\ne 1$, la representación $<v,\sigma(v)>$ es irreducible. Esto muestra que una representación irreducible de $S_3$ tiene un grado como máximo 2. Además, cada representación irreducible de dos dimensiones de $S_3$ es isomorfa a esta. Ahora, si la representación es unidimensional, entonces su generador es un autovalor de $\sigma$ y dado que el orden de $\sigma$ es 2, sus autovalores son $\pm 1$. Por lo tanto, hay dos representaciones unidimensionales: la trivial y la que tiene $\sigma(v) = -v$. Esta última se ve fácilmente que es la representación de signo.

Para resumir: dos representaciones unidimensionales y una bidimensional (hasta isomorfismo). Además, cualquier representación de dos dimensiones está generada por los eigenvectores $\{x,y\}$ de $\tau$. Si los autovalores correspondientes son 1, entonces es descomponible en subrepresentaciones unidimensionales generadas ya sea por $x$ e $y$ (si $\sigma(x)\in<x>$, $\sigma(y) = y$) o por $x+\sigma(x)$ y $x-\sigma(x)$ (si $\sigma$ permuta $<x>$, $<y>$). En ambos casos, uno de estos es el trivial y el otro es la representación de signo.

Queda por notar que al actuar sobre la representación regular (dimensión 6) $\tau$ permuta cíclicamente dos conjuntos de vectores base de la siguiente manera: $$ (12)\mapsto(13)\mapsto(23)\mapsto(12) $$ y $$ Id\mapsto\tau\mapsto\tau^2\mapsto Id. $$ Esto significa que la matriz de $\tau$ en la base $\{(12),(13),(23),Id,(123) = \tau, (132) = \tau^2\}$ tiene una forma de bloque diagonal (fácil de escribir, pero tediosa de escribir) y el polinomio característico de $\tau$ es $(t^3 - 1)^2$. Esto muestra que $\tau$ tiene cada raíz cúbica de 1 como autovalor y la multiplicidad de cada uno es 2. Combinando esto con el hecho de que $\tau$ es diagonalizable y el razonamiento anterior, obtenemos que la representación regular se descompone en tres de dos dimensiones, 2 de las cuales son irreducibles y la tercera se descompone en el trivial y la de signo.

Answer 2

El número de representaciones unidimensionales es dado por el número de elementos en la abelianización de $S_3$. Siendo el conmutador $A_3$, tenemos dos representaciones unidimensionales. Pero incluso puedes obtener más: como $S_3/A_3$ es cíclico de orden 2, la representación no trivial se logra enviando todos los elementos que no pertenecen a $A_3$ a $-1$.

Ahora, tienes 3 representaciones irreducibles, y $S_3$ tiene 3 clases de conjugación, por lo que las has encontrado todas. Para concluir, recuerda que para un grupo finito $G$, la representación regular se descompone como $$k[G]=\oplus_{n=1}^r V_n^{m_n},$$ donde $V_1,\ldots,V_r$ son las representaciones irreducibles distintas de $G$ y $m_n=\dim V_n$.