Como mencionaste, no es posible que $N = 1$. Tampoco es posible para $N = 2$, donde asumo que el orden no cuenta. Para ver esto, asumamos que hay una solución para obtener
$$a_1 + a_2 = b_1 + b_2 = c \tag{1}\label{eq1A}$$
$$a_1^2 + a_2^2 = b_1^2 + b_2^2 = d \tag{2}\label{eq2A}$$
Al elevar al cuadrado ambos lados de \eqref{eq1A} y restar \eqref{eq2A}, se obtiene
$$2a_1 a_2 = 2b_1 b_2 \implies a_1 a_2 = b_1 b_2 = e \tag{3}\label{eq3A}$$
Usando las fórmulas de Vieta, o simplemente expandiendo un cuadrático, es decir, $(x - r_1)(x - r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2$, tenemos que $a_1$ y $a_2$, así como $b_1$ y $b_2$, son las raíces de
$$x^2 - cx + e = 0 \tag{4}\label{eq4A}$$
Dado que \eqref{eq4A} tiene solamente $2$ raíces (por ejemplo, al observar que es una parábola o, de manera más formal, usando el teorema fundamental del álgebra), esto significa que $a_1$ y $a_2$ deben ser iguales, salvo por el orden, a $b_1$ y $b_2$.
Sin embargo, para $N = 3$, tenemos
$$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}} = 0 \tag{5}\label{eq5A}$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{2} \tag{6}\label{eq6A}$$
Para cualquier $N \gt 3$, como se menciona en el comentario de la pregunta de Kavi Rama Murthy, se pueden construir ejemplos simplemente agregando ceros.
Actualización: Dado que la pregunta ahora indica que no se permiten los valores $0$, entonces como sugiere el comentario de dm63, simplemente podemos usar valores que sumen $0$ y con $b_i = -a_i$. Por ejemplo, con $N = 3$, podríamos tener
$$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 0 \tag{7}\label{eq7A}$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{6}\right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{7}{18} \tag{8}\label{eq8A}$$
Para evitar que los valores sumen $0$, haz que los $a_i$ sumen un valor relativamente cercano a $0$, con $b_1$ siendo igual a esto (por ejemplo, tener $|b_1| \lt |a_i|$ para $1 \le i \le 3$). Además, haz que $b_2 \gt 0$ y $b_3 = -b_2$. Luego, usando que las sumas de los cuadrados son iguales, resolver para $b_2$ da
$$b_2 = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - b_1^2}{2}} \tag{9}\label{eq9A}$$
Por ejemplo, tenemos
$$-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{69}}{12\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{69}}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{12} \tag{10}\label{eq10A}$$
$$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{1}{12}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{69}}{12\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{69}}{12\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{35}{72} \tag{11}\label{eq11A}$$
Esto se puede extender fácilmente a $N \gt 3$. Además, también puedes asegurarte de que todos los $|a_i|$ y $|b_i|$ sean únicos, pero el álgebra se vuelve más complicada y desordenada.
