Sea $\mathcal{M}$ una categoría modelo en el antiguo sentido, es decir, con factorizaciones que no necesariamente son functoriales, y sea $X$ un objeto en $\mathcal{M}$. La categoría de reemplazos cofibrantes para $X$, denotada por $\mathbf{Cof} (X)$, es la subcategoría completa de la categoría de división $\mathcal{M}_{/ X}$ abarcada por objetos $q: \tilde{X} \to X$ donde $\tilde{X}$ es cofibrante y $q$ es una equivalencia débil.
Pregunta. ¿Es (débilmente) contractible el nervio de $\mathbf{Cof} (X)$?
Esto es cierto y fácil de mostrar cuando $\mathcal{M}$ tiene reemplazos cofibrantes functoriales (en particular, cuando $\mathcal{M}$ es una categoría modelo en el nuevo sentido): ver por ejemplo el Teorema 14.6.2 en [Hirschhorn, Categorías modelo y sus localizaciones]. La idea es construir una homotopía explícita de 2 pasos desde el funtor identidad hasta un funtor constante, sin embargo, realmente necesitamos la functorialidad para que esta demostración funcione.
El problema, por lo tanto, es encontrar una demostración alternativa que no haga uso de la functorialidad. Parece que la respuesta debería seguir siendo afirmativa. En primer lugar, podemos asumir sin pérdida de generalidad que $X$ es un objeto terminal en $\mathcal{M}$. En ese caso, $\mathbf{Cof} (X)$ es isomorfo a la subcategoría completa de $\mathcal{M}$ abarcada por los objetos cofibrantes cuya única morfismo a $X$ es una equivalencia débil. Sea $B$ el nervio de esta categoría. Con algo de trabajo, se puede mostrar que cualquier par de aristas de $B$ son homotópicas como caminos en $| B |$. Algo similar se puede decir para esferas, utilizando la 2-cosqueletalidad de $B. Desafortunadamente, eso no es suficiente para mostrar que $B$ es contractible (¡a diferencia del caso de los grupoide!).
Sugiero que es posible que la respuesta a la pregunta sea negativa, lo que luego sería una respuesta a esta pregunta.
