Límite de una secuencia con raíz enésima de una serie

Question

Pregunta: encuentra el límite de una sucesión $\{a_n\}$ donde:

$a_n = \sqrt[n]{\sum_{k=1}^n (2 - \frac{1}{k})^k}$.

Es fácil demostrar que $a_n$ está acotado por encima por $2$:

$\sqrt[n]{\sum_{k=1}^n (2 - \frac{1}{k})^k} \leqslant \sqrt[n]{\sum_{k=1}^n (2 - \frac{1}{k})^n} \to 2$.

¿Cómo puedo acotarlo por debajo?

Answer 1

Ciertamente, $$\sum_{k=1}^n \left(2-\frac1k\right)^k\ge \left(2-\frac1n\right)^n$$ Entonces $$\sqrt[n]{\sum_{k=1}^n \left(2-\frac1k\right)^k}\ge \sqrt[n]{\left(2-\frac1n\right)^n}=2-\frac1n\to2$$