Pointwise convergencia de funciones continuas implica la convergencia uniforme en algunos subconjunto abierto

Question

Para algunos Banachspace $A$ tenemos una secuencia de funciones continuas $g_n:A\rightarrow \mathbb{R}$ pointwise convergentes para algunos $g:A\rightarrow\mathbb{R}$. Demostrar que para cualquier $\epsilon>0$ existe $\emptyset\not=U\subset A$ abierto y $N\in\mathbb{N}$ tal que para todos los $n>N$ tenemos $\sup_{x\in U}\left|g_n(x)-g(x)\right|<\epsilon$.

No estoy seguro de cómo abordar este problema. Es una buena idea probar algo como local acotamiento primero?

Answer 1

Fix $\epsilon > 0$. Para un determinado $N$ definir $$B_N = \{x \in A : \forall m,n > N\,\,|g_m(x) - g_n(x)| \leq 2\epsilon\}$$ $$ = \bigcap_{m,n > N} \{x \in A : |g_m(x) - g_n(x)| \leq 2\epsilon\}$$ Each set $\{x \in A : |g_m(x) - g_n(x)| \leq 2\epsilon\}$ is closed since $g_m$ and $g_n$ are continuous. Therefore the intersection $B_N$ is also closed. Because for each $x$ the sequence $\{g_n(x)\}$ is convergent, for each $x$ it is also a Cauchy sequence, so $\bigcup_N B_N$ is all of $$. By the Baire Category theorem, some $B_N$ contains an open set $U$. For all $x \U$ and all $m,n > N$ one has $|g_m(x) - g_n(x)| \leq 2\epsilon$. Taking limits as $m$ goes to infinity, one has $|g(x) - g_n(x)| \leq 2\epsilon$ for $n > N$, so in particular $|g(x) - g_n(x)| < \epsilon$ for $n > N$ como sea necesario.