Para cualquier $n \ge 0$, dejemos
$$f_n = {\bf Pr}\big[ S_0 =n \land \exists t > 0, S_t = 0 \big]$$ sea la probabilidad de que un caminata aleatoria comenzando en la ubicación $n$ regrese al origen en algún tiempo finito $t$.
Dejemos $q = 1-p$ y $\displaystyle\;\mu = \frac{q}{p}\;$. Es fácil ver que $f_n$ satisface una relación de recurrencia
$$f_n = \begin{cases} 1, & n = 0,\\ p f_{n+2} + q f_{n-1}, & n > 0 \end{cases}\tag{*1}$$ La ecuación característica correspondiente $$\begin{align} p \lambda^2 + q\lambda^{-1} - 1 = 0 &\iff p(\lambda^2 - 1) - q(1-\lambda^{-1}) = 0\\ &\iff (\lambda^2 + \lambda - \mu)(\lambda - 1) = 0 \end{align} \tag{*2} $$ tiene tres raíces, $$1,\quad -\frac{1+\sqrt{1+4\mu}}{2}\quad\text{ y }\quad\frac{\sqrt{1+4\mu}-1}{2}$$ Esto implica $$f_n = A + B \left( -\frac{1+\sqrt{1+4\mu}}{2} \right)^n + C \left(\frac{\sqrt{1+4\mu}-1}{2}\right)^n$$ para algunas constantes $A, B, C$ adecuadamente elegidas.
Observamos que entre las tres raíces, la $2^{da}$ raíz es la de mayor magnitud y $< -1$. Si $B \ne 0$, entonces $f_n$ será negativo para algún $n$ suficientemente grande. Esto contradice con la naturaleza de $f_n$ como la probabilidad de cierto evento. Esto implica que $B = 0$. Lo que sucede con $A$ y $C$ depende de $\mu$.
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Si $\mu < 2$, la deriva promedio de la caminata aleatoria $r = 2p - q = p(2-\mu) > 0$.
Para $t$ no muy pequeño, podemos aproximar $S_t$ por una distribución normal con media $r t + n$ y desviación estándar $\sigma = \sqrt{4p^2 + q - r^2} = 3\sqrt{pq}$. Dentro de $K$ sigmas, tenemos $$S_t > r t + n - K\sigma\sqrt{t} = r\left(\sqrt{t} - \frac{K\sigma}{2r}\right)^2 + n - \frac{K^2\sigma^2}{4r}$$ Cuando $\displaystyle\;n > \frac{K^2\sigma^2}{4r}\;$, esperamos que el "regreso al origen" se convierta en un evento de $K$ sigmas. Esto sugiere$\color{blue}{^{[1]}}$ $$\lim_{n\to\infty} f_n = 0 \quad\implies\quad A = 0$$ Combinando con la restricción $f_0 = 1$, encontramos que $C = 1$ y $$f_n = \left(\frac{\sqrt{1 + 4\mu} - 1}{2}\right)^n$$
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Si $\mu > 2$, la $3^{er}$ raíz $\displaystyle\;\frac{\sqrt{1+4\mu} - 1}{2} > 1$. Si $C \ne 0$, entonces $f_n$ se volverá ilimitado para $n$ suficientemente grande. Una vez más, esto contradice con la naturaleza de $f_n$ como la probabilidad de cierto evento. Esto lleva a $C = 0, A = 1$ y por lo tanto $f_n = 1$.
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Si $\mu = 2$, la ecuación característica $(*2)$ tiene una raíz doble en $\lambda = 1$.
La solución general para $(*1)$ ahora toma la forma $$f_n = A + B \left( -\frac{1 + \sqrt{1 + 4\mu}}{2} \right)^n + C'n$$ Una vez más, es fácil ver que $C' = 0, A = 1$ y por lo tanto $f_n = 1$.
Para resumir:
$$f_n = \begin{cases} \displaystyle\;\left(\frac{\sqrt{1+4\mu} - 1}{2}\right)^n, & \mu < 2\\ 1, & \mu \ge 2 \end{cases}$$
Notas
- $\color{blue}{[1]}$ Este es un argumento sin fundamentos, siéntase libre de justificarlo rigurosamente.
