Maximizar la puntuación en un examen de opción múltiple de 120 preguntas donde cada pregunta tiene un valor de 25 puntos, sobre la cantidad de respuestas que eligió - puntos.

Question

Una vez tomé una prueba en la cual la calificación funcionaba de la siguiente manera-

Hay 120 preguntas de opción múltiple, cada una tiene cinco opciones para elegir :

A, B, C, D, E.

Cada pregunta puede potencialmente darte 25 puntos (la puntuación máxima es 3,000).

Potencialmente - porque puedes elegir más de una respuesta para cada pregunta. Puedes marcar A y B, o A D y E, así que básicamente puedes marcar cada subconjunto de {A,B,C,D,E}.

Eencialmente, para cada número natural n5, n0, que representa la cantidad de opciones que elegiste, si una de ellas es correcta, obtienes 25/n puntos por esa pregunta.

Si ninguna es correcta, o decidiste no marcar ninguna opción, la pregunta no te dará puntos.

Mis preguntas son:

1. suponiendo que no has estudiado en absoluto, ¿hay alguna forma de completar la hoja de respuestas, maximizando la puntuación?

Hay una gran cantidad de particiones para responder, de las cuales debemos elegir, y tenemos que tener en cuenta la probabilidad de responder cada pregunta correctamente o incorrectamente. Puedes elegir 3 opciones en 14 preguntas, elegir 2 en 61 preguntas, y en el resto elegir marcar 4. O, otra partición, donde marcas una opción en la primera pregunta, y cinco en el resto.

2. Dada una prueba similar, con una puntuación máxima de S, con q preguntas - cada una potencialmente valiendo S/q puntos, a opciones para elegir como respuestas a cada pregunta, y un método de calificación idéntico. ¿Existe una fórmula general que describa cómo se puede elegir sabiamente?

Answer 1

Solo responderé a tu segunda pregunta, ya que es una generalización de la primera.

Vamos a considerar el caso en el que el examen solo tiene una pregunta, que vale $S$ puntos, y con $a$ opciones. Una estrategia para elegir respuestas, ya sea determinista o no, es equivalente a una distribución de probabilidad en $\mathcal P(\{1,\ldots,a\})$. Definamos dos variables aleatorias: $X\subseteq\{1,\ldots,a\}$, tu elección de respuestas, y $A\in\{1,\ldots,a\}$, la respuesta correcta. Entonces el valor esperado (en términos de puntuación) de tu estrategia es $$E[\text{score}]=\sum_{P\subseteq\{1,\ldots,a\}\\|P|\geq 1}\frac{S}{|P|}\Bbb P(X=P\;\wedge\;A\in P) \\ =\sum_{P\subseteq\{1,\ldots,a\}\\|P|\geq 1}\frac S{|P|}\frac{|P|}{a}\Bbb P(X=P) \\ =\frac S{a}\sum_{P\subseteq\{1,\ldots,a\}\\|P|\geq 1}\Bbb P(X=P).$$ Así que para maximizar tu puntuación esperada, todo lo que tienes que hacer es establecer $\Bbb P(X=\varnothing)=0$, y luego tu puntuación esperada es $\frac S{a}$.

Algunas explicaciones para el cálculo: $X$ y $A$ son independientes, así que $\Bbb P(X=P\;\wedge\;A\in P)=\Bbb P(X=P)\Bbb P(A\in P)$. Además, para calcular $\Bbb P(A\in P)$, podemos calcular $$\Bbb P(A\notin P)=\frac{a-1}{a}\cdot\frac{a-2}{a-1}\cdot\cdots\cdot\frac{a-|A|}{a-|A|+1}=\frac{a-|A|}{a},$$ entonces $\Bbb P(A\in P)=\frac{|A|}{a}$.

Si hay múltiples preguntas, las probabilidades de responder cada pregunta correctamente son independientes, así que simplemente podemos sumar sus valores esperados: tu mejor estrategia es nunca dejar una pregunta en blanco, y entonces tu puntuación esperada es $\frac{Sq}{a}$.