Mostrar $p(n)=n(p_{n-1}+p_{n-2})+(n-1)p_{n-3}+(n-2)p_{n-4}+...+3p_1+2p_0+2$

Question

Tengo que mostrar lo siguiente:

Sea $N_k=\frac{p_k}{q_k}$ con $\alpha=\langle 1;2,3,4,...,n,n+1\rangle$ y $n \in \mathbb{N}$. Entonces $\forall n \in \mathbb{N}$ con $n\geq 3$,

$$p_n=n(p_{n-1}+p_{n-2})+(n-1)p_{n-3}+(n-2)p_{n-4}+\dots+3p_1+2p_0+2\;.$$

$p_n$ es el n-ésimo numerador de la convergente de $\alpha$ y $\alpha$ es una fracción continua, el número antes del ";" es la parte de la fracción continua delante de la fracción "real", por ejemplo $\langle a;b,c\rangle =a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}$

Como pista me dieron "Usa Inducción", pero no sé por dónde empezar.

Sugiero:

$n=3 \rightarrow p(3)=3(p_2+p_1)+2p_0+2=3p_2+3p_1+2p_0+2$

Ahora tengo que averiguar $p(3)$, así que tengo que obtener la fracción continua $\alpha=\langle 1;2,3\rangle$, pero no sé cómo obtener mi $\frac{p_k}{q_k}$.

Cualquier pista sería útil.

Answer 1

Para empezar:

Los convergentes sucesivos de $\langle 1;2,3\rangle$ son $\langle 1\rangle = \frac11$, $\langle 1;2\rangle = \frac32$, y $\langle 1;2,3\rangle = 1+\frac1{2+\frac13}=1+\frac1{7/3}=$ $1+\frac37=\frac{10}{3}$, así que $p_0=1$, $p_1=3$ y $p_2=10$. Por lo tanto, $3p_2+3p_1+2p_0+2=43$. Y $\langle 1;2,3,4\rangle =$ $1+\frac1{2+\frac1{3+\frac14}}=1+\frac1{2+\frac4{13}}=1+\frac{13}{30}=\frac{43}{30}$, así que $p_3$ es realmente $43$.

Puede ser útil consultar este material para obtener información sobre cómo se calculan los convergentes de forma recursiva.

Agregado: Tu fracción continua es $\langle a_0;a_1,a_2,\dots\rangle$, donde $a_n=n+1$. Por lo tanto, la recurrencia dada en el artículo de Wikipedia se convierte en $p_n=(n+1)p_{n-1}+p_{n-2}$, o $p_{n+1}=(n+2)p_n+p_{n-1}$. Supongamos como hipótesis de inducción que

$$p_n=n(p_{n-1}+p_{n-2})+(n-1)p_{n-3}+(n-2)p_{n-4}+\dots+3p_1+2p_0+2$$ y $$p_{n-1}=(n-1)(p_{n-2}+p_{n-3})+(n-2)p_{n-4}+(n-3)p_{n-5}+\dots+3p_1+2p_0+2\;.$$ Luego $$\begin{align*} p_{n+1}&=(n+2)p_n+p_{n-1}\\ &=(n+1)p_n+p_n+p_{n-1}\\ &=(n+1)p_n+\left(np_{n-1}+\sum_{k=0}^{n-2}(k+2)p_k+2\right)+p_{n-1}\\ &=(n+1)(p_n+p_{n-1})+\sum_{k=0}^{n-2}(k+2)p_k+2\;, \end{align*}$$

lo cual es exactamente lo que necesitas para que la inducción se cumpla.