Existencia de una función diferenciable si las derivadas parciales son iguales

Question

Sea $f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$ diferenciable y $D_1f(x,y)=D_2f(x,y),~ \forall (x,y) \in \mathbb R^2$. Mi problema es demostrar que existe una función diferenciable

$\Phi: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tal que $f(x,y)= \Phi(x+y),~ \forall x,y \in \mathbb R$.

Me temo que no tengo ni idea de por dónde empezar o qué teorema podría ayudarme, así que agradecería cualquier ayuda.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Pista: Define la función $g : \Bbb{R}^2 \to \Bbb{R}$ por $$ g(x,y) = f(x-y,y). $$ Luego, usando las propiedades de $f$, deberías encontrar que $D_y g(x,y) = 0$ para cada $(x,y) \in \Bbb{R}^2$. En particular, para cualquier $x$ fijo en $\Bbb{R}$, $g(x,y_1) = g(x,y_2)$, ya que el mapa $y \mapsto g(x,y)$ tiene derivada cero y por lo tanto es constante. En particular, para cada $(x,y) \in \Bbb{R}^2$ $$ g(x+y, x+y) = g(x+y,y). $$ Ahora, expresa esta última igualdad en términos de $f$.