La esperanza es un lugar adecuado para preguntar cómo resolver la ecuación en $\mathbf x$:
$$
\mathbf x^T \mathbf Un\mathbf x + \mathbf x^T \mathbf b + c = 0.
$$
donde:
$\mathbf x$ $n\times 1$ vector columna
$\mathbf A$ $n\times n$ matriz
$\mathbf b$ $n\times 1$ vector
$c$ es un escalar
Gracias
Respuesta
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Sugerencia 1: podemos suponer ${\bf A}$ es simétrica. Si no, se puede reemplazar por ${\bf B}=({\bf A}+{\bf A}^T)/2$, debido a ${\bf x}^T {\bf A}{\bf x} = {\bf x}^T {\bf B}{\bf x}$ (de verificación). (Por eso las ecuaciones cuadráticas se expresa generalmente mediante matrices simétricas; no perdemos generalidad).
Sugerencia 2: Esta es la generalización de la (escalares) cuadrática $$ax^2 + b x + c = 0$ $ ¿sabes cómo resolverlo (completando el cuadrado)? Si es así, tratar de generalizar el procedimiento. Si no, aprender de ella.
Sugerencia 3: Considere el caso especial ${\bf x}^T {\bf x} = v$. Si $v$ es positivo, la solución radica en una esfera. Ahora, si ${\bf x^T A x} = v$ , si podemos escribir ${\bf A} = {\bf P \Lambda P^T }$ (podemos, si a es simétrica), hacemos un cambio de variable ${\bf z} = {\bf P^T x}$ (una rotación del eje) y obtenemos la ecuación de una (hiper)de la elipse, si $ v$ es positiva y ${\bf \Lambda }$ es diagonal con un resultado positivo de las entradas.
