Convirtiendo ecuaciones paramétricas con funciones trigonométricas en forma cartesiana

Question

Ahoy,

Estoy teniendo problemas con una tarea basada en computadora y la pregunta es la siguiente:

$$x = 2\cos^5 t, \quad y = 2 \sin^5 t$$ Escribe esto en forma cartesiana, $F(x,y) = c$.

Entiendo cómo realizar esta operación para ejemplos más simples pero hasta ahora esto es lo que he hecho.

He resuelto $x$ para $t$, lo cual he dicho que es $(\cos^{-1}\frac{x}{2})^{1/5}$.

Una vez hecho esto, luego sustituyo este valor de $t$ en mi ecuación de $y$ y creo que esto me da mi valor de $c$.

No estoy realmente seguro si esto está correcto o cómo se supone que debo presentar mi respuesta aquí. Supongo que no logro entender el proceso sobre cómo lidiar con estas funciones trigonométricas con potencias y cómo presentar mi respuesta.

Gracias,

Sean

Answer 1

Pista Primero, ten en cuenta que resolver la ecuación para $x$ da como resultado $$t = \arccos \left[\left(\frac{x}{2}\right)^{1 / 5}\right]$$ (para valores apropiados del argumento de $\arccos$), en lugar de con $\arccos$ y $\cdot^{1 / 5}$ en orden inverso.

Ahora, se puede simplificar la expresión producida al sustituir esta expresión para $t$ en la fórmula para $y$ usando la identidad $$\sin \arccos t = \sqrt{1 - t^2}$$ (nuevamente para $t$ apropiado). Podemos derivar esta identidad dibujando un triángulo rectángulo con longitudes de pierna $1$ y $t$ y aplicando las definiciones habituales de las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.

Alternativamente, (al menos para $(x, y)$ en el primer cuadrante,) reorganizando las ecuaciones paramétricas originales se obtiene $$\left(\frac{x}{2}\right)^{2 / 5} = \cos^2 t \qquad \text{y} \qquad \left(\frac{y}{2}\right)^{2 / 5} = \sin^2 t.$$

Answer 2

Como Travis escribió en la última parte de su respuesta, una forma conveniente de escribir en forma cartesiana $$x = a\cos^m (t), \quad y = b \sin^n (t)$$ es extraer $\cos^2(t)$ de $x$ y $\sin^2(t)$ de $y$ y luego aplicar $\sin^2(t)+\cos^2(t)=1$.

En este caso, $$\Big(\frac xa\Big)^{2/m}+\Big(\frac yb\Big)^{2/n}=1$$ pero, como respondió Travis, existen restricciones dependiendo del cuadrante considerado.