¿Tiene todo grupo finito de tamaño al menos 2 un subgrupo cíclico finito de tamaño al menos 2?
El teorema de Lagrange no ayuda, porque no dice nada sobre la existencia de un subgrupo de cierto orden.
Respuestas
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No es necesario invocar a Cauchy aquí, porque no estás pidiendo un subgrupo cíclico de orden específico. Es trivial que si $g \in G$ entonces $\langle g \rangle \leq G$ (que es el subgrupo más pequeño que contiene a $g).
Y es trivial que $\langle g \rangle \leq G$ es cíclico (de hecho contiene elementos de la forma $g^m$ para algún $m$.)
Luego elige un elemento no identidad de $G$ (existe porque $|G| \geq 2$), entonces tiene orden al menos 2 (contiene al menos $1_G$ y $g) y por lo tanto $\langle g \rangle \leq G$ es un subgrupo cíclico de orden al menos 2.
Dietrich Burde
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Supongamos que $G$ es un grupo finito de orden $n$. Entonces existe un primo $p$ tal que $p\mid n$. Según el teorema de Cauchy, $G$ tiene un elemento $g$ de orden $p$, y por lo tanto un subgrupo cíclico $H=\langle g \rangle$ de orden $p. El teorema de Cauchy puede ser visto como una conversión parcial del teorema de Lagrange. También existe una clase de grupos, llamados grupos CLT, para los cuales se cumple la conversión completa del teorema de Lagrange.
Un grupo finito $G$ es un grupo CLT si y solo si para cada divisor positivo $d$ de $|G|$ existe al menos un subgrupo $H\le G$ tal que $|H|=d$. Resulta que cada grupo CLT es soluble y cada grupo supersoluble es un grupo CLT. Por ejemplo, cada grupo finito $G$ con $(G:Z(G))<12$ es un grupo CLT. El resultado es óptimo, ya que $A_4$ satisface $(G:Z(G))=12$ y $A_4$ no es un grupo CLT (no tiene un subgrupo de orden $6$, aunque $6\mid 12=|A_4|$).
