Supongamos que tengo la función $$ f(x)=\begin{cases} x^{3}\sin(\frac{5}{x}) & x\ne0\\ 0 & x=0 \end{cases} $$ Quiero demostrar que es diferenciable en $0.$ Primero muestro que es continua mediante: $$ \lim_{x\to0}f(x)=x^{3}\sin(\frac{5}{x})=0 $$ Esto es porque tengo una función acotada multiplicada por 0. Ahora necesito mostrar si f es diferenciable y de ser así, ¿es $f'$ continua? Comencé haciendo $$ f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{(0+h)^{3}\sin(\frac{5}{0+h})-(0)^{3}\sin(\frac{5}{0})}{h} $$ Pero no logro entender qué hacer con la parte $\sin (\frac{5}{0})$ porque eso no existe. ¿Debo tomar 2 límites de $ x\to 0 $ y $h\to 0 $ en ese caso? En cuanto a la segunda parte de mostrar que f' es continua, simplemente diferencié con la regla del producto y obtuve que: $$ f'(x)=3x^2\sin(\frac{5}{x})-5x\cos(\frac{5}{x}) $$ Y después de verificar ambos lados, vi que uno de ellos es negativo y el otro es positivo, por lo tanto, tienen límites diferentes en los dos lados. ¿Cómo resuelvo estos problemas por definición?
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Tienes que \begin{eqnarray*} f: I\subset \mathbb{R} &\to& \mathbb{R}\\ x&\mapsto& f(x)=\begin{cases}x^{3}\sin\left(\frac{5}{x}\right), &\quad x\not=0\\ 0, &\quad x=0 \end{cases} \end{eqnarray*} Si quieres probar que $f$ es diferenciable en $0$, no es necesario empezar probando que $f$ es continua en $0$. Por supuesto, si $f$ no es continua en $0$, entonces $f$ no es diferenciable en $0$. Pero, no es lo que se pide en el problema.
Necesitas probar que $$\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$$ existe y si ese límite existe, entonces $$f'(0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}.$$
Ahora, sabes que si $x=0$, entonces $f(0)=0$ y para todo $x\not=0$, tienes que $f(x)=x^{3}\sin\left(\frac{5}{x}\right)$.
Por lo tanto, $$\lim_{h\to 0}\frac{h^{3}\sin\left(\frac{5}{h}\right)-0}{h}=\lim_{h\to 0}h^{2}\sin\left(\frac{5}{h}\right)=0. \quad (1)$$
Nota que $(1)$ es claro, porque $$-1\leqslant \sin\left(\frac{5}{h}\right)\leqslant 1$$ $$-h^{2}\leqslant h^{2}\sin\left(\frac{5}{h}\right)\leqslant h^{2}$$ $$\lim_{h\to 0} -h^{2}\leqslant \lim_{h\to 0} h^{2}\sin\left(\frac{5}{h}\right)\leqslant \lim_{h\to 0} h^{2}$$ $$0 \leqslant h^{2}\sin\left(\frac{5}{h}\right)\leqslant 0$$ Por lo tanto, $$\lim_{h\to 0} h^{2}\sin\left(\frac{5}{h}\right)=0$$ y $f$ es diferenciable en $x=0$ con $f'(0)=0$.
Para verificar la diferenciabilidad en $0$ debes básicamente calcular el límite $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(h) -f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^3 \sin(5/h)}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 \sin \left( \frac{5}{h} \right)$$.
Observa que $$0 \le \left\vert h^2 \sin \left( \frac{5}{h} \right) \right\vert \le h^2$$ Entonces, por el teorema del apretón, el límite existe y es igual a $0$.
