Combinación lineal infinita de reales linealmente independientes que iguala a 0

Question

¿Es posible encontrar una secuencia de números reales $\{x_n\}$ linealmente independiente sobre $\mathbb{Q}$ con la propiedad de que exista una secuencia de racionales $\{q_n\}$ tal que $\sum q_n x_n = 0$, pero para cualquier secuencia de enteros $\{a_n\}, \sum a_nx_n \neq 0$?

Answer 1

Por supuesto; toma cualquier número trascendental $0<\alpha<1$ y define $x_n:=n(\alpha^{n+1}-\alpha^n)$ y $q_n=\frac{1}{n}$.