Grupos con todos los subgrupos normales característicos

Question

Hoy en mi investigación, tuve que usar bastante explícitamente la propiedad algo tautológica de los grupos cíclicos finitos de que todo subgrupo normal es característico, es decir, fijo por todos los automorfismos. Esto me hizo preguntarme:

¿tienen un nombre los grupos (finitos) con la propiedad de que cada subgrupo normal es característico y/o pueden ser completamente clasificados? En general, ¿se ha investigado esta propiedad en absoluto?

Aparte de los grupos cíclicos, algunos grupos que poseen la propiedad mencionada que vienen de inmediato a mi mente son los grupos simples, los grupos simétricos, los grupos semidihedrales, y los grupos diedrales de orden dos veces impar (sin embargo, no de orden dos veces par).

Esto es todo lo que logré en mi corto paseo a casa (aparte de algunas afirmaciones falsas, vea los comentarios). Sospecho que esta propiedad podría estar bien estudiada.

Edit: La referencia que Beren Sanders proporcionó en su respuesta y las referencias a y desde la misma todas tratan sobre grupos $p$. Aún no he podido encontrar algo sobre grupos finitos arbitrarios. Algunas de las preguntas que los teóricos de grupos $p$ hacen simplemente no son muy interesantes en el caso de grupos arbitrarios. Por ejemplo, el artículo que mencionó Beren Sanders prueba que todo grupo finito $p$ está contenido en otro grupo finito $p$ en el cual cada subgrupo normal es característico. La misma afirmación para grupos finitos arbitrarios es trivial: simplemente incrusta tu grupo en un grupo simétrico. Aún me sorprendería si alguien no hubiera intentado decir algo razonablemente general sobre grupos finitos con esta propiedad.

Answer 1

La pregunta en la que los subgrupos normales de todos los $p$-grupos son característicos es un problema bastante antiguo en la teoría de los grupos finitos $p$. Parece difícil de evaluar debido al hecho de que ni los subgrupos ni los factores de un grupo que no tiene más que subgrupos normales característicos necesitan retener esta propiedad.

Estas son las dos primeras oraciones del siguiente artículo de 2009 publicado en el Israel Journal of Mathematics:

B. Wilkens. $p$-grupos sin subgrupos normales no característicos. Isr. J. Math. 172, 357–369 (2009). Zbl 1188.20014

Como no experto, no tengo nada más que añadir.

Answer 2

Aquí hay una pequeña contribución. Si ningún par de factores en una serie de composición para $G$ son isomorfos, entonces todo subgrupo normal de $G$ es característico. De hecho, en grupos de este tipo, ningún par de subgrupos normales distintos pueden ser isomorfos. Para ver esto, supongamos que $M$ y $N$ son distintos e isomorfos. Observa una serie de composición obtenida al refinar la serie $1 \subseteq M \cap N < M < MN \subseteq G$. Sea $S$ un grupo simple que aparece como factor de composición entre $M \cap N$ y $M$. Entonces $S$ no es isomorfo a un factor de composición de $M \cap N$, pero es un factor de composición de $M$ y por lo tanto también del grupo isomorfo $N$. Dado que $S$ es un factor de composición de $N$ pero no de $M \cap N$, es un factor de composición de $N/(N \cap M)$. Dado que este grupo es isomorfo a $MN/M$, vemos que $MN/M$ tiene a $S$ como factor de composición. Esto es una contradicción porque entonces $G$ tiene dos factores de composición isomorfos a $S$: uno entre $M \cap N$ y $M$ y otro entre $M$ y $MN$.