En una sala de emergencias de un hospital, los pacientes son clasificados y el 20% de ellos son críticos, el 30% son graves y el 50% son estables.

Question

En una sala de emergencias de un hospital, los pacientes se clasifican y el 20% de ellos son críticos, el 30% son graves y el 50% están estables. De los críticos, el 30% muere; de los graves, el 10% muere; y de los estables, el 1% muere. Dado que un paciente muere, ¿cuál es la probabilidad condicional de que el paciente haya sido clasificado como crítico?

¿No sería P(Crit.| Muere) = (.2 x .3 / .3)? No sé qué estoy haciendo mal. La respuesta es 0.632

Answer 1

Sea $C$ el evento de que un paciente elegido al azar esté crítico y $D$ el evento de que un paciente elegido al azar muera. Queremos $\Pr(C|D)$. Por la fórmula usual para la probabilidad condicional, tenemos $$\Pr(C|D)=\frac{\Pr(C\cap D)}{\Pr(D)}.\tag{1}$$ Queremos encontrar las probabilidades a la derecha de (1).

La probabilidad $\Pr(C\cap D)$ es, como calculaste, $(0.2)(0.3)$.

Ahora necesitamos $\Pr(D)$. El evento $D$ puede ocurrir de $3$ formas: (i) crítico y muere o (ii) grave y muere o (iii) estable y muere. Calcula estas probabilidades y súmalas. Ya has encontrado la probabilidad de (i).

Answer 2

Sea $A=$ el evento de que el paciente esté en condición crítica, $B=$ el evento de que el paciente esté en condición grave, y $C=$ el evento de que el paciente esté en condición estable. Sea $D=$ el evento de que el paciente fallece. Entonces sabemos que $P(A)=0.2, P(B)=0.3, P(C)=0.5, P(D|A)=0.3, P(D|B)=0.1, P(D|C)=0.01$. Entonces $$P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)}$$ Para más explicaciones, lee Teorema de Bayes.

Answer 3

La probabilidad de A dado B es igual a P(A|B) = $\frac {P(B | A)\, P(A)}{P(B)}$. En tu problema, B = "Dado que un paciente muere", y A = "la probabilidad de que el paciente haya sido clasificado como crítico". Esto es conocido como el Teorema de Bayes. Te sugiero que investigues más al respecto, ya que es muy importante en probabilidad.