Resolver la ecuación $z^2 + \left\vert z \right\vert = 0$, donde $z$ es un número complejo.

Question

He intentado resolver esto, pero estoy atascado en un punto.

Esto es lo que hice:

Sea $z = x + yi$, donde $x, y \in \mathbf R$

Entonces, $(x + yi)^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$

O, $x^2 + {(yi)}^2 + 2xyi + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$

O, $x^2 - y^2 + 2xyi + \sqrt{x^2 + y^2} = 0 + 0i$

Por lo tanto, $x^2 - y^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ (i)$
y $2xy = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(ii)

Si $2xy = 0$, entonces o bien $x = 0$ o $y = 0$

Ahora, si tomo $x = 0$, y sustituyo en $(i)$, obtengo o bien $y = 0$ o $y = 1$.

Hasta ahora, todo bien, pero si tomo $y = 0$ y sustituyo en $(ii):

Tenemos $x^2 + \sqrt{x^2} = 0

entonces $x^2 = -\sqrt{x^2}$

o $x^2 = -x$

o $\frac{x^2}{x} = -1$

o $x = -1$

Sin embargo, esta solución no satisface la ecuación $x^2 + \sqrt{x^2}$ o la ecuación original.

¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Answer 1

En $x^2 = -\sqrt{x^2}$, observe que $x$ es real, por lo que tienes un número no negativo a la izquierda y un número no positivo a la derecha. Por lo tanto, ambos deben ser $0$.

Solución alternativa: $$z^2=-|z|\\ |z|^2=|z|\\ |z|=0\quad \text{o}\quad|z|=1$$ luego para $|z|=1$, resolver $z^2+1=0$.

Answer 2

Dejemos que $x, y \in \mathbb{R};\;z=x+iy$ sea la ecuación dada $z^2+|z|=0$ convertirse en

$(x+iy)^2+\sqrt{x^2+y^2}=0$

$x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}+ixy=0$

lo cual se traduce en el sistema

$\left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=0 \\ y-2 x y=0 \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=0 \\ 2xy=0 \\ \end{array} \right.$

Lo cual se divide en dos sistemas

$\left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=0 \\ x=0 \\ \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=0 \\ y=0 \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} -y^2+\sqrt{y^2}=0 \\ x=0 \\ \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x^2+\sqrt{x^2}=0 \\ y=0 \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} y^2=|\,y\,| \\ x=0 \\ \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x^2=-|\,x\,| \\ y=0 \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} y=0\lor y= \pm 1 \\ x=0 \\ \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=0 \\ \end{array} \right.$

Así que tenemos las soluciones

$z=0\lor z=\pm i$

Espero que esto ayude