Esta respuesta es muy similar a la de @JadeVanadium (+1), pero con soluciones de Sudoku explícitas y verificación, reemplazadas por construcciones y argumentos. Creo que es bueno tener ambas.
Un Sudoku completado es precisamente una función $f\colon {\mathbb{F}_3}^4\to {\mathbb{F}_3}^2$ que cumple que para cualquier $a_1,a_2,a_3,a_4\in {\mathbb{F}_3}$ los mapas siguientes son biyecciones:
$$ (x,y)\mapsto f(x,y,a_3,a_4),\\(x,y)\mapsto f(a_1,a_2,x,y),\\(x,y)\mapsto f(x,a_2,y,a_4). $$
Estas tres condiciones son simplemente las restricciones habituales de que las filas, columnas y bloques contienen entradas distintas.
Por lo tanto, una solución es $f(a_1,a_2,a_3,a_4)=(a_1+a_4,a_2+a_3)$.
Esto se generaliza a la familia de soluciones $f^\lhd(a_1,a_2,a_3,a_4)=(a_1+a_4,(a_1\lhd a_2)+a_3)$ donde para $i\in \mathbb{F}_3$, tenemos $i\lhd \in S_{\mathbb{F}_3}$.
Sea $C$ el conjunto de $54$ líneas en ${\mathbb{F}_3}^4$ de la forma $(*,a_2,a_3,a_4)$ o $(a_1,a_2,*,a_4)$ (donde los $a_i$ son valores fijos). Para un Sudoku completado $h$, sea $N(h)$ el número de imágenes distintas de elementos de $C$: $$N(h)=|\{h(I)\subset {\mathbb{F}_3}^2\vert\,\, I\in C\}|.$$
La Transformación 1 volverá a etiquetar las imágenes $h(I)$, pero no cambiará su número. Sostenemos que las transformaciones restantes permutan los elementos de $C$, por lo que tampoco afectan a $N(h)$:
La Transformación 2 consiste en mapas de la forma $$\qquad\,\,\,\,(a_1,a_2,a_3,a_4) \mapsto (-a_1,-a_2,a_3,a_4)\\{\rm o}\qquad (a_1,a_2,a_3,a_4) \mapsto (a_1,a_2,-a_3,-a_4) $$
Estos preservan claramente los elementos de $C$.
La Transformación 3 consiste en mapas de la forma $$\qquad\,\,\,\,(a_1,a_2,a_3,a_4) \mapsto (a_3,a_4,-a_1,-a_2)\\{\rm o}\qquad\qquad (a_1,a_2,a_3,a_4) \mapsto (-a_3,-a_4,a_1,a_2)\\{\rm o}\qquad (a_1,a_2,a_3,a_4) \mapsto (-a_1,-a_2,-a_3,-a_4)\,\,\, $$
Estos también preservan elementos de $C$, siendo que los dos primeros intercambian las líneas de la forma $(*,a_2,a_3,a_4)$ con las líneas de la forma $(a_1,a_2,*,a_4)$.
Las Transformaciones 4 y 5 tienen la forma:$$\qquad\,\,\,\,(a_1,a_2,a_3,a_4) \mapsto (a_1,\sigma(a_2),a_3,a_4)\\{\rm o}\qquad (a_1,a_2,a_3,a_4) \mapsto (a_1,a_2,a_3,\sigma(a_4)) $$
respectivamente, para algún $\sigma\in S_{\mathbb{F}_3}$. Claramente, estos también preservan elementos de $C$.
Las Transformaciones 6 y 7 tienen la forma:$$\qquad\,\,\,\,(a_1,a_2,a_3,a_4) \mapsto (\sigma_{a_2}(a_1),a_2,a_3,a_4)\\{\rm o}\qquad (a_1,a_2,a_3,a_4) \mapsto (a_1,a_2,\sigma_{a_4}(a_3),a_4) $$ respectivamente, para $\sigma_i\in S_{\mathbb{F}_3}$ que dependen del parámetro $i$. Estos preservan elementos de $C$. Nota que estos arruinan por completo las líneas de la forma, $(a_1,*,a_3,a_4)$ o $(a_1,a_2,a_3,*), por eso definimos $C$ de la forma en que lo hicimos.
Concluimos que $N$ es invariante en las clases de equivalencia de Sudokus completados.
Ahora bien, $N(f)= 6$, ya que las imágenes de elementos de $C$ bajo $f$ son simplemente las líneas horizontales o verticales en ${\mathbb{F}_3}^2$.
Resta encontrar un producto $ \lhd\colon \mathbb{F}_3 \times \mathbb{F_3} \to \mathbb{F_3}$ tal que $N(f^\lhd)\neq 6$. Recordemos, la única restricción que pusimos en $\lhd$ para que $f^\lhd$ sea una solución de Sudoku válida fue que para $i\in \mathbb{F}_3$, tenemos $i\lhd \in S_{\mathbb{F}_3}$.
Así que $$i\lhd j = (-1)^{\delta_{0i}}j$$ nos da una solución de Sudoku válida $f^\lhd$, donde $\delta$ es el delta de Kronecker habitual.
Las líneas $(a_1,a_2,*,a_4)$ se asignan a las $3$ líneas verticales en ${\mathbb{F}_3}^2$ de la misma forma que lo hicieron bajo $f$. Asimismo, las líneas $(*,0,a_3,a_4)$ se asignan a las mismas $3$ líneas horizontales que bajo $f$. Sin embargo $(*,1,0,0)$ se asigna al conjunto: $$\{(0,2),(1,1),(2,1)\}.$$ Esto no es ni una línea vertical ni horizontal, por lo que tenemos $N(f^\lhd)>6$. Por lo tanto, $f$ y $f^\lhd$ son soluciones de Sudoku no equivalentes. (De hecho, es fácil ver que los $18$ elementos de $C$ que no se asignan a líneas horizontales o verticales se asignan a imágenes distintas en ${\mathbb{F}_3}^2$, por lo que $N(f^\lhd)=24$).
En términos convencionales de Sudoku, $f$ es esencialmente la primera solución en la respuesta de Jade Vanadium, y obtenemos $f^\lhd$ de $f$ intercambiando las 2da y 7ma columnas. Esta transformación no preserva soluciones en general, pero lo hace en este caso porque $f$ tiene tanta simetría. El conjunto $C$ es simplemente el conjunto de tercios, por lo que el invariante $N$ es muy similar al de la respuesta de Jade Vanadium. De hecho, es claro que si intercambias las 1ra y 4ta columnas en la primera solución de Jade Vanadium, entonces el par $1,2$ aparecerá en el mismo tercio en precisamente $5\notin\{0,9\}$ de las casillas.
