Desigualdad $a+b+c > abc$, prueba $a^2+b^2+c^2 > abc$

Question

Dado, $$a+b+c > abc$$

Demuestra que $$a^2+b^2+c^2 > abc$$

Intenté elevar al cuadrado el primero pero no funcionó.

Answer 1

La desigualdad $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ se cumple, ya que es equivalente a $$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0.$$ También se tiene que $$ab+bc+ac\geq\sqrt{3abc(a+b+c)}.$$ La desigualdad anterior se cumple, ya que es equivalente a $$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c),$$ lo cual es equivalente a $$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$$ para $x=bc$, $y=ac$, $z=ab$.

Finalmente, $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\geq\sqrt{3abc(a+b+c)}\geq\sqrt{3}abc>abc$$