Desarrollo en serie de Taylor al cuadrado

Question

Considera la siguiente expansión $$\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{16}x^3 .. $$

Demuestra que esta ecuación se cumple elevando al cuadrado ambos lados y comparando los términos hasta $x^3$.

Me pregunto, ¿cómo puedo elevar al cuadrado el lado derecho?

Answer 1

Nota que

$$ (a + b + c + d) ^ 2 = \underbrace {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2} _ {\text {la suma de los cuadrados de todos los términos}} + \underbrace {2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd} _ {\text {la suma de los productos dobles de los términos tomados de 2 en 2}} $$ por lo que encontramos

$$ \left (1 + \dfrac {1} {2} x - \dfrac {1} {8} x ^ 2 + \dfrac {1} {16} x ^ 3 .. \ right) ^ 2 = \underbrace {1 ^ 2 + (2 \times 1 \times \frac12 x)}_ {= 1 + x} + \underbrace {(\frac12 x) ^ 2-2 \times \frac 18 x ^ 2} _ {= 0} \ \underbrace { -2 \times \frac12x \frac18x ^ 2 + 2 \times \frac1 {16} x ^ 3} _ {= 0} + \ cdots $$

Answer 2

Pista:

\begin{align} (a + b + c + \ldots )^2 & = (a+b+c+\ldots) \times (a+b+c+\ldots) \\ & = a^2 + ba + ca + \ldots + a b + b^2 + cb + \ldots ac + bc +c ^2 + \ldots \end{align}

¿Puedes continuar a partir de aquí?

Answer 3

$$ \left( 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{16}x^3 + \dots \right)^2 = \left( 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{16}x^3 + O(x^4) \right)^2 =$$ $$= 1+ \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{64}x^4 + \dfrac{1}{256} x^6+1-\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{8}x^3 + \dfrac{1}{8}x^3 +\dfrac{1}{16}x^4 - \dfrac{1}{64}x^5 + O(x^4) =$$ $$=1+x + O(x^4)$$

Answer 4

Puedes poner $t=\frac 12 x-\frac 18 x^2 + \frac 1{16}x^3$ entonces, obtienes: $$\sqrt{\sqrt{1+x}}=\sqrt{1+t}=1+ \frac 12 t--\frac 18 [t^2]_3 + \frac 1{16}[t^3]_3 ... $$ donde $[P(x)]_3$ para un polinomio $$P(x)=a_0+a_1 x +a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 ... +a_n x^n $$ es: $$[P(x)]_3=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3.$$

Por ejemplo, dado que: $t=x(\frac 12 -\frac 18 x + \frac 1{16}x^2)$ tenemos: $$t^2=x^2(\frac 12 -\frac 18 x + \frac 1{16}x^2)^2$$ entonces: $$[t^2]_3=x^2(\frac 14 -\frac 18 x)$$

Answer 5

Cuando elevas al cuadrado el lado derecho, obtendrás otro polinomio (infinito) $ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots $. Ahora pasa por los coeficientes $ a_i $ y pregúntate cuáles términos en el producto $\big ( 1+ {1 \over 2} x - {1 \over 8} x^2 + \ldots\big) \big ( 1+ {1 \over 2} x - {1 \over 8} x^2 + \ldots\big)$ contribuirán a $a_i$.

Por ejemplo, solo hay un producto que contribuye a $a_0$, es decir, $1 \cdot 1$, ya que el grado de $x$ en cada otro término es al menos 1. Luego, para obtener $a_1$, puedes multiplicar $1$ del primer factor con ${1 \over 2} x$ del segundo factor, o ${1 \over 2} x$ del primero y $1$ del segundo. Así que $a_1 = 1\cdot {1 \over 2} + {1 \over 2} \cdot 1 = 1$. Continúa de manera similar para el resto.